Помогите с интегралом

[Padawan]

$$\int\limits_{0}^\frac{\pi}{2}\frac{dx}{\cos^3{x}+\sin^3{x}}$$

Универсальная тригонометрическая подстановка дает проблему с многочленом четвертой степени в знаменателе, который трудно разложить на множители.

[Brukvalub]

Разложите знаменатель как сумму кубов, а числитель - как $(\sin x+\cos x)^2+2(1-\sin x\cos x)$.

[Padawan]

Там получится интеграл $\int\frac{\sin x+\cos x}{1-\sin x\cos x} dx$ С ним что делать? Тот же самый многочлен в знаменателе $(1+t^2)^2-2t(1-t^2)$. Подозреваю, что я сильно туплю.

-- Чт мар 24, 2016 22:58:04 --

Или еще разложить, отдельно слагаемое с синусом, отдельно с косинусом?

[Someone]

Padawan в сообщении #1108878 писал(а):

$\int\frac{\sin x+\cos x}{1-\sin x\cos x} dx$

В числителе — дифференциал от $\sin x-\cos x$, а в знаменателе $\sin x\cos x$ выражается через $(\sin x-\cos x)^2$.

[Padawan]

Спасибо.