Вопрос про двумерные спиноры и одно уравнение

[Ascold]

Пусть $u(\vec{p})$ и $v(\vec{p})$ - двумерные спиноры, удовлетворяющие уравнениям

$$u(\vec{p})=\frac{E-\vec{\sigma}\vec{p}}{m}\sigma^2v^*(\vec{p}),$$

$$v(\vec{p})=-\frac{E-\vec{\sigma}\vec{p}}{m}\sigma^2u^*(\vec{p}).$$

Почему эта система имеет именно два линейно-независимых решения $u_1(\vec{p}), v_1(\vec{p})$ и $u_2(\vec{p}), v_2(\vec{p}) $?

[amon]

Посмотрите на это как на систему обычных линейных однородных алгебраических уравнений. А сопряжение в правой части откуда взялось?

[Ascold]

Цитата:

А сопряжение в правой части откуда взялось?

Это следует из уравнения Майораны(двумерного).

Цитата:

Посмотрите на это как на систему обычных линейных однородных алгебраических уравнений.

я изначально думал, что 2 фундаментальных решения - очередная ипостась зарядовой сопряжённости на каком-то этапе вычислений. Попробую комплексно сопрячь вторую пару уравнений и посчитать ранг итоговой 4*4 матрицы системы.

[Cos(x-pi/2)]

А можно и совсем по-простому. После подстановки выражения $v(\vec{p})$ из второй строчки в правую сторону первого уравнения и перемножения всех возникших там матриц первое уравнение приводится к виду:

$$(E^2-E^2_{\vec{p}}) \, u=0$$

где $E^2_{\vec{p}}=|\vec{p}|^2+m^2.$ Отсюда видно, что при $E^2=E^2_{\vec{p}}$ имеется ненулевое решение - произвольный спинор $u.$ Поскольку он "двумерный", то его можно разложить на два линейно независимых спинора, например:

$$\begin{bmatrix}u_1\\ u_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1\\ 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ u_2 \end{bmatrix}$$

(Аналогично обстоит дело и со вторым уравнением. Короче говоря, при $E^2=E^2_{\vec{p}}$ один из спиноров $u$ и $v$ - любой, и, значит, он состоит из двух независимых компонент, а другой спинор через него выражается с помощью оставшегося уравнения.)