Доказать непрерывность оператора

[arkitch]

Здравствуйте, подскажите как подойти к таким вот задачам (Зорич глава 10 §2 упр 1a) .
Если $A: X \to Y$ линейный оператор из нормированного пространства в X в нормированное пространство Y и X конечномерно, то А непрерывный оператор.

Если оператор имеет конечную норму и ограничен то это и будет значить непрерывность. Получается, надо показать существование конечной нормы или ограниченность. Известно что
$\left\lVert A\rVert =\sup|Ae| \right$ и $|Ax|\leq \lVert A \rVert |x|$ Если $\lVert x \rVert=\sum\limits_{1}^{n}|x_ie_i| \leq1$ Тогда $\lvert Ax \rvert\leq\sup|Ae_i||\sum\limits_{1}^{n}x_ie_i|\leq C \lVert x\rVert$ где $C=\max{Ae_i}$ Чего то не хватает еще, но не понимаю чего. Какие есть иные варианты доказательства?

Пункт б там же, доказать то же самое для полилинейных операторов. Интуитивно: полилинейный оператор это определитель матрицы для случая R. Если выбрать базисные векторы так что объем будет равен единице то и будет ограниченность?

[Brukvalub]

Такой оператор достаточно знать на базисе, и он записывается явной формулой, после чего все будет очевидно.

[ewert]

arkitch в сообщении #1108721 писал(а):

линейный оператор из нормированного пространства в X в нормированное пространство Y и X конечномерно, то А непрерывный оператор.

Brukvalub в сообщении #1108724 писал(а):

Такой оператор достаточно знать на базисе

Не надо вообще ничего знать. Образ этого оператора тупо конечномерен и потому вопрос о его (не)ограниченности сугубо празден. Совершенно непонятно, зачем он Зоричу понадобился.

[arkitch]

Подскажите еще такую задачу: Два линейных нормированных пространства изоморфны, если существует такой изоморфизм между ними (как линейными векторными) который вместе с ему обратным является непрерывным линейным оператором. Показать что линейные нормированные пространства одинаковой конечной размерности изоморфны.

Для линейных векторных изоморфизм вытекает из:
$f(\sum\limits_{l=1}^{m}a_il_i)=\sum\limits_{l=1}^{m}a_im_i$ и наоборот для $A^-1$
Это для линейных. Но тут никаким боком непрерывность. Быть может можно использовать из предыдущей задачи что ограниченность значит непрерывность. И так для $А, А^-1$. Или композицию $АА^-1$ и неравенство треугольника а затем ограниченность каждого.

[Brukvalub]

arkitch в сообщении #1109159 писал(а):

Но тут никаким боком непрерывность.

А что вам известно о различных нормированиях конечномерных в.п.?

[ewert]

arkitch в сообщении #1109159 писал(а):

Показать что линейные нормированные пространства одинаковой конечной размерности изоморфны.

Это называется не задачей, а теоремой об эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве.