Резольвента суженного оператора

[Catenary]

Здравствуйте.
Несколько запутался в следующем вопросе.

Пусть $H$ -- гильбертово пространство и $A \colon H \to H$ -- самосопряжённый оператор. Рассмотрим его сужение $A E(\delta)$, где $E(\delta)$ -- соответствующий спектральный проектор. Можно ли написать какую-то простую связь между резольвентами $(A E(\delta) + \zeta I)^{-1}$ и $(A + \zeta I)^{-1}$?

[Red_Herring]

Catenary в сообщении #1108687 писал(а):

Пусть $H$ -- гильбертово пространство и $A \colon H \to H$ -- самосопряжённый оператор. Рассмотрим его сужение $A E(\delta)$, где $E(\delta)$ -- соответствующий спектральный проектор. Можно ли написать какую-то простую связь между резольвентами $(A E(\delta) + \zeta I)^{-1}$ и $(A + \zeta I)^{-1}$?

Объясните, как действует первая экспонента на $E(\delta)H$ и на $(I-E(\delta))H$.

[Catenary]

Не хочу показаться дураком, но пока понятна только такая выкладка: $(A E(\delta) + \zeta I)^{-1} E(\delta) (A + \zeta I) = E (\delta)$.

[Red_Herring]

Ну зачем так? Намёк номер 2: перестановочны ли резольвенты и $E(.) $?

[Catenary]

Не, хорошо, я согласен с Вами, что поскольку операторы перестановочны, то тогда перестановочны и их спектральные меры. А значит выполнено $E(\delta) (A E(\delta) + \zeta I)^{-1} = (A E(\delta) + \zeta I)^{-1} E(\delta)$. Откуда, кстати, следует, что $E(\delta) H$ -- приводящее подпространство для $(A E(\delta) + \zeta I)^{-1}$.
Меня интересует: можно ли что-нибудь ещё сказать про $(A E(\delta) + \zeta I)^{-1} (I - E(\delta))$, кроме перестановочности? Незнаю, может быть какие-то спектральные свойства в терминах спектра $A$. (Можно считать для простоты, что $A$ имеет только собственные числа конечной кратности.)
Хотя, наверное, это всё ерунда.

[Red_Herring]

Цитата:

Ох нелегкая это работа Из болота ...

Ну посмотрите: на $E(\lambda) H$ операторы $AE(\lambda)$ и $A$ совпадают и переводят это пространство в себя, так? Значит и их резольвенты ....

А вот на $(I-E(\lambda)) H$ операторы $AE(\lambda)$ и (подставьте что надо) совпадают и переводят это пространство в себя, и их резольвенты...

[Catenary]

Оййй, точняк. Что-то затупил на пустом месте.
Спасибо большое.

[Red_Herring]

Catenary в сообщении #1109316 писал(а):

Спасибо большое.

так напишите, что получилось (чтобы Вас проверить)

[Catenary]

$(A E(\delta)+ \zeta I)^{-1} E(\delta) = (A + \zeta I)^{-1} E(\delta)$ и $(A E(\delta)+ \zeta I)^{-1} (I - E(\delta)) = \zeta^{-1} (I - E(\delta))$. Правильно?

[Red_Herring]

Catenary в сообщении #1109322 писал(а):

Правильно?

Да, а теперь сложите оба равенства

[Catenary]

$(AE(\delta) + \zeta I)^{-1} = (A + \zeta I)^{-1} E(\delta) + \zeta^{-1} (I - E(\delta))$