Сколько раз число 2016 встретится в последовательности?

[Ktina]

Рассмотрим последовательность:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 4 ...
(произведение всех цифр числа, умноженное на их количество)

Сколько раз в этой последовательности встретится число 2016?

[gris]

первым делом разложить на множители: $2016=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7$
А потом комбинировать. Вот семёрка как число цифр:
$2222233\to 2016$ Ну и комбинаторно все разные перестановки.
$1422233\to 2016$ Ну и комбинаторно все разные перестановки.
$1114833\to 2016$ Ну и комбинаторно все разные перестановки.
Да их там куча! Уж извините, считать не могу. Наверное, есть другой способ, а этое уж и вовсе никак.
Мне кажется, что $1111111....1111$ самое большое. $2016$ цифр.
$1789$ самое маленькое.

[Ktina]

gris в сообщении #1108555 писал(а):

Да их там куча!

Вот как бы эту тучу без компьютерного перебора вычислить? Или никак?

[gris]

Чего то мне кажется, что компьютерным перебором трудновато будет. Только упорным трудом ручкой на бумажке.
Ну вот 2016-значное число одно. 1008-значных как раз 1008 штук. 672-значных как раз 672 штук. Ну а какие-нибудь 42-значные считать? Тоска зелёная. Надо другой способ искать.

[Yadryara]

Да, здесь комбинаторным взрывом пахнет. Продолжу рассуждения gris'а.

Обозначу произведение цифр числа — $\textstyle\prod$; количество цифр в этом числе — $k$; количество таких чисел — $v$.

$\textstyle\prod = 1; k = 2016; v = 1$

$\textstyle\prod = 2; k = 1008; v = 1008$

$\textstyle\prod = 3; k = 672; v = 672$

$\textstyle\prod = 4; k = 504; v = 504 + 126756 = 127260$

$\textstyle\prod = 6; k = 336; v = 336 + 112560 = 112896$

$\textstyle\prod = 7; k = 288; v = 288$

$\textstyle\prod = 8; k = 252; v = 252 + 63252 + 2635500 = 2699004$

...

Сопутствующие расчёты количества вариантов:

$v(111...1114) = 504$
$v(111...1122) = 504*503/2 = 126756$

$v(111...1116) = 336$
$v(111...1123) = 336*335 = 112560$

$v(111...1117) = 288$

$v(111...1118) = 252$
$v(111...1124) = 252*251 = 63252$
$v(111...1222) = 252*251*250/2/3 = 2635500$

То есть для $\textstyle\prod = 8$ речь уже пошла о миллионах подходящих чисел. А основные расчёты ещё впереди.

[Ktina]

Любопытно, что если заменить 2016, скажем, на 2014, задача становится доступной даже ёжику подшофе.

[gris]

А ещё лучше опубликовать задачу в следующем году

[Yadryara]

gris в сообщении #1108560 писал(а):

Ну а какие-нибудь 42-значные считать?

Как-то так:

$\textstyle\prod = 48; k = 42 $

$v(111...111168) = 42\cdot41 $
$v(111...111238) = 42\cdot41\cdot40 $
$v(111...111246) = 42\cdot41\cdot40 $
$v(111...111344) = 42\cdot41\cdot40/2 $
$v(111...112226) = 42\cdot41\cdot40\cdot39/2/3 $
$v(111...112234) = 42\cdot41\cdot40\cdot39/2 $
$v(111...122223) = 42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38/2/3/4 $

$v = 42\cdot41+ 42\cdot41\cdot40(2 + \frac12 + \frac{39}{2\cdot3} + \frac{39}2 + \frac{39\cdot38}{2\cdot3\cdot4}) = 6 218 142 $

Оказалось, не так уж много вариантов. Может и ошибся где.