Неравенство Пуанкаре для ненулевой границы

[Таня Тайс]

Случай интервала, dim=1

Неравенство Пуанкаре для функции $ u:[a,b] \to \mathbb{R}, u(a)=0, u(b)=0, $
где $u \in C^{1}_{0}\Big((a,b)\Big), [a,b]\subset \mathbb{R},$ выглядит так

$$ \int_{a}^{b} u^{2}(t) dt \leqslant (b-a)^{2} \int_{a}^{b} \Big(\frac{du}{dt}\Big)^{2} dt $$

Для доказательства используем формулу Ньютона-Лейбница
$ u(t) = \underbrace{ u(a)}_{=0} + \int_{a}^{t} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds.$
Возводим это тождество в квадрат и интегрируем по интервалу $[a,b]$

$$ \int_{a}^{b} u^{2}(t)dt \leqslant \int_{a}^{b} \Big( \int_{a}^{t} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds \Big)^{2}dt \leqslant ...$$

Используя неравенство Коши, получаем

$$ ... \leqslant \int_{a}^{b} (b-a) \int_{a}^{t} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds dt \leqslant (b-a)^{2} \int_{a}^{b} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds , $$

что и требовалось доказать.

Случай нулевой границы, dim=2
В этом случае $\Omega \subset \mathbb{R}^{2}, \quad u : \Omega \to \mathbb{R}, \quad u(x,y)=0 \quad \forall (x,y) \in \partial \Omega. $
Неравенство Пуанкаре принимает вид

$$ \int_{\Omega} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx dy \leqslant L^{2} \int_{\Omega} \mid \nabla u(x,y) \mid ^{2}dx dy$$

Рассмотрим квадрат $\mathbb{Q} =[0,L] \times [0,L]$,
так как любую подобласть $\Omega\subset \mathbb{R}^{2}$
можно заключить в $\mathbb{Q} = [0,L] \times [0,L]$,
тривиально продолжив $ u_{\mid_{\mathbb{Q}\setminus \Omega}}=0.$
Тогда
$ u : \mathbb{Q} \to \mathbb{R},\quad u(0,y)=0 \quad \forall y, \quad u(x,0)=0 \quad \forall x$
По формуле Ньютона-Лейбница

$$ u(x,y) =\underbrace{ u(0,y)}_{=0} + \int_{0}^{x}\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi} d\xi $$

Возведём обе части в квадрат и применим неравенство Коши

$$ \mid u(x,y) \mid ^{2} = \Big( \int_{0}^{x}\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi} d\xi \Big)^{2} \leqslant \int_{0}^{x}d\xi \int_{0}^{x} \Big| \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big| ^{2} d\xi \leqslant L \int_{0}^{L} \Big| \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big| ^{2} d\xi $$

Проинтегрировав это неравенство по всему квадрату, получим

$$ \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx dy \leqslant L \int_{0}^{L} dx \int_{0}^{L} \int_{0}^{L} \Big| \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big| ^{2} d\xi dy \leqslant L^{2} \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \Big|\frac{\partial u(x, y)}{\partial x}\Big| ^{2} dx dy$$

Совершенно аналогично получаем такое же неравенство для частной производной по $y$

$$ \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx dy \leqslant L^{2} \int_{0}^{L}\int_{0}^{L}\Big|\frac{\partial u(x, y)}{\partial y}\Big| ^{2} dx dy$$

Складывая оба неравенства и отбрасывая фактор 2, получаем желаемое

$$ \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx dy \leqslant L^{2} \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \mid \nabla u(x,y) \mid ^{2} dx dy$$

что и требовалось доказать.
Случай ненулевой границы, dim=2
Рассмотрим случай, когда не весь квадрат имеет ненулевую границу, а только один её отрезок. Пусть для определённости это будет $ [0, x_1].$ Для всех $x$ из отрезка $ [0, x_1] $ пусть $ u(x,0) = 0.$
Применим формулу Ньютона- Лейбница при условии $x>x_1, \quad \tilde{x}< x_1 $

$$ u(x,y) - \underbrace{u(\tilde{x}, 0)}_{=0} = \int_{\tilde{x}}^{x} \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}d\xi + \int_{0}^{y} \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}d\eta $$

Возведём обе части в квадрат

$$ \mid u(x,y) \mid ^{2} = \Big( \int_{\tilde{x}}^{x} \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}d\xi + \int_{0}^{y}\frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}d\eta \Big)^{2} \underbrace{\quad \leqslant \quad}_{2ab \leqslant a^2 + b^2} 2 \Big( \int_{\tilde{x}}^{x} \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}d\xi \Big)^{2} + 2\Big( \int_{0}^{y} \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}d\eta \Big)^{2} \leqslant ...$$

С помощью неравенства Коши и увеличив область интегрирования, получим

$$ \mid u(x,y) \mid ^{2} \leqslant 2L \int_{0}^{L} \Big|\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big|^{2}d\xi + 2L \int_{0}^{L} \Big| \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}\Big|^{2}d\eta$$

Позволим теперь точке $(x,y)$ быть любой и
проинтегрируем неравенство по всей области $ \mathbb{Q}$ :

$$ \int_{\mathbb{Q}} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx dy \leqslant 2L \int_{0}^{L}dx \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}}\Big|\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big|^{2}d\xi dy + 2L \int_{0}^{L}dy \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}} \Big| \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}\Big|^{2} dx d\eta =$$

$$ 2L^2 \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}} \Big|\frac{\partial u(x, y)}{\partial x}\Big|^{2}dx dy + 2L^2 \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}} \Big| \frac{\partial u(x, y)}{\partial y}\Big|^{2} dx dy $$

что и требовалось доказать.


Вопрос 1:Правомочен ли переход от $\tilde{x} $ к $x $ в последней строчке доказательства?
Вопрос 2: Почему неравенство Пуанкаре неверно в случае, если функция $u(x,y)$ обращается в ноль на границе только в одной точке?

[DeBill]

1. Нет. Может случиться, что в точке $\tilde{x}$ производные малы, а в прочих точках - нет.
2. А вот по этой самой причине (ведь Ваше док-во - если бы оно было корректно - это и есть "общее док-во"). Глобальное препятствие можно усмотреть в том, что, хотя у функций из Соболевских пространств и есть граничное значение ("след"), его значения в точках не определено...

[Таня Тайс]

Спасибо большое за ответ!

DeBill в сообщении #1108289 писал(а):

Может случиться, что в точке $\tilde{x}$ производные малы, а в прочих точках - нет.

Ну хорошо, заменим знак равенства на знак больше и всё...

Меня смущает тот факт, что задача была дана как учебная, из источника, которому я доверяю, и сформулирована она была так: "Доказать, что неравенство Пуанкаре верно в случае нулевого отрезка на ненулевой границе, и неверно в случае точки"... Пытаюсь спасти своё доказательство...

След функций из Соболевских пространств - мне надо подумать об этом
Ещё раз спасибо за помощь!

[Red_Herring]

Таня Тайс в сообщении #1108454 писал(а):

"Доказать, что неравенство Пуанкаре верно в случае нулевого отрезка на ненулевой границе, и неверно в случае точки"...

Наверно всё-таки ненулевого отрезка. Кроме того, очень важна геометрия области (ключевое слово "условие конуса").
Ладно, у Вас квадрат. Постарайтесь сначала доказать, что если $\Gamma$ это тот самый участок границы, $\Gamma'$ строго содержится внутри него, а $\omega$ это маленькая окрестность $\Gamma'$, пересечённая с $\Omega$, то неравенство Пуанкаре будет верно если елева интегрировать по $\omega$. Потом расширяйте "завоёванный плацдарм".