Удвоение куба (новое решение)

[ampo]

Это решение не даёт ни малейшей возможности практического применения, что добавляет удовольствия.
Со времён древней Греции известны три геометрические задачи – трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба, считающиеся неразрешимыми с помощью циркуля и линейки (основных инструментов древних геометров).
Для удвоения куба придуманы: мезолябия Эратосфена, цилиндры Архита, триады Менехма и др. (см. http://hijos.ru/2011/04/10/udvoenie-kuba/), это решение иное.
Возможно, кто-то находил его раньше, но я пришёл к нему самостоятельно и, пока не доказано обратное, считаю себя его автором.
По легенде, в ответ на просьбу избавить остров Деллос от чумы – оракул сказал «удвойте жертвенник» (который был кубической формы).
В формулировке оракула отсутствует ограничение – используя только циркуль и линейку, точнее было бы решать задачу, используя только средства, доступные древним грекам.
Почесав основное мыслительное место, можно сделать вывод, что самый простой способ решения задачи – прямое измерение объёма измерителем, отщепляющим по одной координате нужную величину (этого можно достичь специальной конструкцией измерителя объёма).
Заметим - объём куба можно узнать, поместив куб в жидкость и измерив объём вытесненной жидкости (Архимед применил этот способ при измерении объёма короны Гиерона). Такой способ измерения был известен древним грекам и его можно использовать при решении данной задачи.
Возьмём в качестве измерителя объёма (вытесненной кубом жидкости) перевёрнутую правильную пирамиду с квадратным основанием SABCD. Примем длину ребра основания ABCD за $L=AB=BC=CD=AD$, длину ребра, идущего к вершине S от основания – $kL=AS=BS=CS=DS$.
k – единственный параметр, варьируя который, можно решить задачу (свести поиск кубического корня к построению нескольких квадратных корней).
Удвоив объём вытесненной жидкости, получим объём искомого куба, и поместим его в установленную вертикально вершиной вниз пирамиду без крышки.
Выразим объём налитой в пирамиду жидкости через L, kL, и приравняем его к объёму искомого куба:

$$ V=\frac {h S_{ABCD}}{3}=L \sqrt{k^2-\frac{1}{2}} L^2 $$

$$ V=L^3\sqrt{k^2-\frac{1}{2}}=2 a^3$$

отсюда

$$ k=\sqrt{9+\frac{1}{2}}$$

Эту длину можно получить как гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами

$$ L, \frac{L\sqrt{2}}{2}$$

длину второго отрезка можно получить как половину диагонали квадрата со стороной L.
Изготовим пирамиду с квадратным основанием из 4-х треугольников с соотношением сторон, как указано выше, установим её вертикально вершиной вниз. Теперь, наполнив её водой, равной двум объёмам исходного куба - любое ребро основания даёт искомую длину ребра удвоенного куба - задача удвоения куба решена.
Для проверки вертикальности установки пирамиды можно измерить длину всех рёбер основания – при вертикальной установке длины рёбер должны быть равны.
Если нужно найти кубический корень из 3 - наливаем в измерительную пирамиду 3 объёма исходного куба.
Если найдёте ошибку в рассуждении – пожалуйста, сообщите.

[gris]

Идея хорошая. Можно использовать любую пирамиду или конус, установив его на вершину и наливая воду, не меняя положения пирамиды. Поверхности воды при различных объёмах будут параллельны, и все получающиеся конические водяные тела будут подобны. А объёмы подобных тел относятся, как кубы соответственных линейных размеров. Космонавты для вычисления кубических корней давно пользуются водяными шарами, которые образуются в Космосе сами собой.
В Вашем решении, однако, есть минус: много верных знаков после запятой Вы не получите из-за смачивания водой стенок пирамиды. Ровной горизонтальной (или даже подобной) поверхности воды не будет

[arseniiv]

ampo
Никому не нужно новое и довольно длинное решение задачи удвоения куба с помощью набора инструментов более продвинутого, чем циркуль и линейка. Потому что есть как минимум калькулятор. Невозможность удвоения с помощью только циркуля и линейки, разумеется, не запрещает жить хорошо, но так же никуда не девается от предъявления построения с помощью чего-то кроме них.

[Dmitriy40]

Если уж решать задачу физическими методами, а не чисто математическими, то придётся сразу вспомнить о существовании погрешностей, что тут же убьёт всю идею, т.к. с любой заранее заданной погрешностью удвоить куб можно и циркулем с линейкой - тупо построив отрезок с рациональной длиной, равной $\sqrt[3]{2}$ с заданной погрешностью.

(Оффтоп)

А ещё удвоить куб можно чисто физически, взяв весы, отмерив двойной вес исходного куба, а потом стёсывая с бОльшей исходной заготовки куба по микрону материала с каждой стороны и сравнивая вес с нужным.

[ampo]

gris в сообщении #1108156 писал(а):

... Космонавты для вычисления кубических корней давно пользуются водяными шарами, которые образуются в Космосе сами собой.

...есть минус: много верных знаков после запятой Вы не получите из-за смачивания водой стенок пирамиды. Ровной горизонтальной (или даже подобной) поверхности воды не будет

- Я не знал, что космонавты вычисляют кубические корни в космосе, и мне не очень понятно, зачем им это там. Впрочем, я с космической темой близко не знаком - Вас не затруднит дать ссылочку, где об этом сказано подробнее?

- Нет предела совершенству - есть несмачиваемые стёкла (известны автомобилистам, что-то подобное обещают сделать и в нано). Делаем две внутренние поверхности пирамидки несмачиваемыми, а две другие оставляем смачиваемыми. Это должно минимизировать влияние эффекта смачиваемости на результат.

arseniiv в сообщении #1108159 писал(а):

ampo
Никому не нужно новое и довольно длинное решение задачи удвоения куба с помощью набора инструментов более продвинутого, чем циркуль и линейка...

А я и не спорю (и даже всю тему начал с этого утверждения).

Dmitriy40 в сообщении #1108160 писал(а):

Если уж решать задачу физическими методами, а не чисто математическими, то придётся сразу вспомнить о существовании погрешностей, что тут же убьёт всю идею...

У любого реального инструмента есть погрешности, даже у циркуля с линейкой. Карандаш не может прилегать к линейке абсолютно плотно - обычно там зазор меньше миллиметра, но нулю он никогда не равен; грифель циркуля тоже нельзя заточить с точностью до одного атома на конце. При любом построении в реале погрешности неустранимы.
Просто пирамидка, построенная таким образом, даёт - теоретически - точное решение древней задачи.
Из всего сказанного может выйти абзац в учебнике, или четверть часа на семинаре, но ни Филдсовской премии, ни премии "за прорыв в математике" я здесь не усматриваю.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Некорректное цитирование.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[gris]

ampo, я вчера воспринял Вашу тему как шуточную и в выходные позволил себе тоже немного пошутить. Надеюсь, что это Вас не обидело. Если же говорить серьёзно, то Ваши изыскания могут быть весьма полезны в математическом школьном кружке. Дети сейчас совершенно не хотят ничего делать руками. А геометрия это не только отвлечённые теоремы, но и практические навыки. А так же забавы, которые развивают геометрическое мышление и воображение. В учебнике Погорелова есть даже целый параграф где-то в конце курса, посвящённый пространственной гомотетии и соотношению объёмов подобных тел. Есть целый ряд задач про ноги у мухи и слона, про массу кирпича, который вдруг увеличился в два раза <в линейных размерах>. К сожалению, обыватели часто совершенно беспомощны в подобных проблемах. Ваше переливание вод может оказать им существенную помощь.

[DeBill]

ampo
Мне очень понравилось Ваше решение!
Только давайте очистим его от лишних деталей.
1. Как было отмечено gris, можно использовать любой конус.
2. Решение теперь выглядит так: Ставим (на плоскость) куб рядом с конусом; наливаем в конус воды - до уровня куба; удваиваем кол-во воды: полученный уровень воды в конусе = ребру искомого куба.
3. В этом решении есть маленькая непонятка: как удваивать кол-во воды - видимо, с помощью некоторой дополнительной процедуры. Чтобы не отвлекаться на эту деталь, присоединим ее к описанным действиям, и все вместе назовем "прибором для удвоения куба"
4. Получили следующую задачу: имеется циркуль, линейка, и "удвоятель куба". Надо: удвоить куб.
Решение: выбрасываем циркуль и линейку, применяем удвоятель куба. Задача решена!

[Dmitriy40]

ampo в сообщении #1108191 писал(а):

У любого реального инструмента есть погрешности, даже у циркуля с линейкой.

У реальных да, но в таких задачах рассматриваются абстрактные идеальные математические инструменты.
Идея красивая, мне тоже понравилась.

[ampo]

DeBill в сообщении #1108217 писал(а):

ampo
Мне очень понравилось Ваше решение!
Только давайте очистим его от лишних деталей.
1. Как было отмечено gris, можно использовать любой конус...

Вам стоит создать отдельную тему - про конус.
Это направление исследований - целиком Ваше (можете создать оригинальную школу).
Всячески поддерживаю любые Ваши движения в этом направлении, и в любом другом направлении - тоже (главное - подальше от данной темы).

-- 21.03.2016, 13:18 --

gris в сообщении #1108215 писал(а):

воспринял Вашу тему как шуточную и в выходные позволил себе тоже немного пошутить. Надеюсь, что это Вас не обидело. Если же говорить серьёзно, то Ваши изыскания могут быть весьма полезны в математическом школьном кружке.

Никаких проблем.
Я рад, что это хоть кому-то интересно - у меня в ЖЖ текст провалялся почти 4 года без малейшей реакции с чьей-либо стороны.
А тут - почти фурор - более 100 посещений за сутки! Комменты, шутки, прибаутки...

А о преподавании математики в школе - много чего надо бы внести в программу.
Например, современные школьники не знают (спрашивал) как на местности провести прямой угол, имея в руках верёвку, разделённую на 12 равных частей (задача землемеров, с которой началась геометрия).
Киральные поля и нечёткие логики - это здорово, но надо держаться корней...

[bot]

ampo в сообщении #1108226 писал(а):

DeBill в сообщении #1108217

писал(а):
ampo
Мне очень понравилось Ваше решение!
Только давайте очистим его от лишних деталей.
1. Как было отмечено gris, можно использовать любой конус...

Вам стоит создать отдельную тему - про конус.

Мне тоже так понравилось, что я вдохновился и изобрёл способ трисекции угла. Мне нужны: ровная плоскость, колесо и жевательная резинка.
Мне тоже создавать отдельную тему?

[ampo]

bot в сообщении #1108229 писал(а):

Мне тоже так понравилось, что я вдохновился и изобрёл способ трисекции угла. Мне нужны: ровная плоскость, колесо и жевательная резинка.
Мне тоже создавать отдельную тему?

Я не вправе принимать за Вас столь ответственные решения, и даже давать советы, но, если Вы всё же решите такую тему создать, обращаю Ваше внимание (Правила научного форума III. Дополнения и разъяснения; нормы поведения на форуме):

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны.

Не уверен, что с жевательной резинкой Вам удастся этот пункт соблюсти.

И, надеюсь, Вы согласитесь, что ввод термина "жевательная резинка" в данной теме - "увод дискуссии в сторону от основного обсуждения" (см., например, правила поведения). Или троллинг (см. там же).

[Karan]

bot, замечание за оффтопик.
ampo, предупреждение за самовольную модерацию.

[gris]

(Оффтоп)

Это уже интересно. В Дискуссионный раздел помещается тема, которая ему совершенно не соответствует. Автор показывает ненароком терминологию, шутит по-арнольдовски, грозит пальцем профессору. Но с ним пошутить не моги. Кто же он? Возникает подозрение, что некто.
Бывали случаи. Заходили мастера, начинали простодушно, а потом вдруг входили в тонкости, недоступные обычным аспирантам. Но как-то это некрасиво.
А чаще приходили открыватели банальных истин, которые только в ЖЖ и обсуждать. Но претендующие, да.