Неравномерное движение

[ULTROZY]

Добрый вечер.
Даны 6 зарядов $q$ массой $m$ расположенные в вершинах правильного шестиугольника со стороной $L$. Найти скорость точек на большом расстоянии друг от друга. (силу тяжести не учитывать)
Здесь получается $F(x)=\frac{\alpha kq^2}{r^2}=\frac{\alpha kq^2}{L+x^2}$, где $\alpha=1,25+\frac{1}{\sqrt{3}}$ (заменил чтоб не мешалось потом); $r$ - расстояние между зарядами; $x$ - пройденное расстояние ($r=L+x$). Отсюда ускорение $a(x)=\frac{\alpha kq^2}{mr^2}=\frac{\alpha kq^2}{m(L+x)^2}$. А дальше я не знаю. Я сначала воспользовался уравнениями для равноускоренного движения, получил $v(r)=\frac{q}{r}\sqrt{\frac{2\alpha k(r-L)}{m}}=q\sqrt{\frac{2\alpha k}{m}}\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{L}{r^2}}$ и посчитал его предел $\lim\limits_{r\to\infty}^{}v(r)=0$. Потом посмотрел в вики основные формулы, пытался в них свои значения подставить, но имея базовые знания об интегралах, ничего не получил. Помогите.

[Mihr]

ULTROZY, лучше воспользуйтесь законом сохранения энергии. Решение будет значительно проще.

[ULTROZY]

по ЗСЭ я получил потенциальную энергию каждого: $W=\frac{2kq^2}{L}+\frac{2kq^2}{\sqrt{3}L}+\frac{kq^2}{2L}=(2,5+\frac{2}{\sqrt{3}})\frac{kq^2}{L}$, и по $W=\frac{mv^2}{2}$ получил $v\approx256485,1\frac{q}{\sqrt{mL}}$. Правильно?

[Mihr]

ULTROZY в сообщении #1108129 писал(а):

по ЗСЭ я получил потенциальную энергию каждого: $W=\frac{2kq^2}{L}+\frac{2kq^2}{\sqrt{3}L}+\frac{kq^2}{2L}=(2,5+\frac{2}{\sqrt{3}})\frac{kq^2}{L}$, и по $W=\frac{mv^2}{2}$ получил $v\approx256485,1\frac{q}{\sqrt{mL}}$. Правильно?

Думаю, что нет. Давайте учтём, что
1. Каждый заряд взаимодействует со всеми остальными.
2. Все заряды приходят в движение.
По-моему, Вы этого не учли.

[ULTROZY]

Почему не учел? Если взять один заряд, то с ближайшими двумя (расстояние между ними $L$) он относительно каждого их них имеет потенциальную энергию $W_1=\frac{kq^2}{r}$; с двумя другими, которые чуть подальше (на расстоянии $\sqrt{3}L$) потенциальная энергия равна $W_2=\frac{kq^2}{\sqrt{3}L}$, а с самым дальним на расстоянии $2L$ : $W_3=\frac{kq^2}{2L}$, и в сумме $W$ получается в точности таким, как я и написал:

ULTROZY в сообщении #1108129 писал(а):

$W=\frac{2kq^2}{L}+\frac{2kq^2}{\sqrt{3}L}+\frac{kq^2}{2L}=(2,5+\frac{2}{\sqrt{3}})\frac{kq^2}{L}$

А так как с самого начала кинетическая энергия каждого: $K=0$ и на большом расстоянии, то есть когда потенциальная энергия между зарядами уже $W_\infty=0$, то могу вполне нормально употребить формулу

ULTROZY в сообщении #1108129 писал(а):

$W=\frac{mv^2}{2}$

[Mihr]

Вы взяли треть потенциальной энергии всей системы и шестую часть кинетической. Ошибка пошла отсюда.
Непонятно также, куда делся размерный коэффициент $k$ и, соответственно, что за странный безразмерный коэффициент в конечном выражении.

Если уж Вы рассматриваете один заряд, то учтите, что потенциальную энергию всех его попарных взаимодействий нужно делить пополам: половина энергии приходится на этот заряд, другая половина - на "партнёра".

[ULTROZY]

Аааа, понял, ну тогда $W=(1,25+\frac{1}{\sqrt{3}})\frac{kq^2}{L}$, и реальный результат меньше того в $\sqrt{2}$. кстати коэффициент пропорциональности $k$ я уже раскрыл его значением $k=9\cdot10^9$ , тогда получается $v=181362,35785\frac{q}{\sqrt{mL}}$м/с

[Mihr]

ULTROZY в сообщении #1108145 писал(а):

кстати коэффициент пропорциональности $k$ я уже раскрыл его значением $k=9\cdot10^9$ , тогда получается $v=181362,35785\frac{q}{\sqrt{mL}}$м/с

Два замечания:
1. Выглядит не очень красиво, когда лишь одна из размерных величин заменена её числовым значением, а остальные по-прежнему "зашифрованы" буквами. И уж совсем некорректно опускать при этом размерность "раскрытой" величины.
2. Бессмысленно писать коэффициент с одиннадцатью значащими цифрами. Или Вы подразумеваете, что все величины, входящие в задачу, определены с такой фантастической точностью?

[ULTROZY]

Хорошо, тогда будет так: $v=1,9\left\lvert q\right\rvert\sqrt{\frac{k}{mL}}$. Спасибо за помощь!