Теория Вероятностей

[Maxim9]

Пусть $A$ – $\sigma$-алгебра на множестве натуральных чисел, $P$ – вероятностная мера на $A$. Можно ли продолжить $P$ до вероятностной меры на $\sigma$-алгебре всех подмножеств натуральных чисел?

Пыталась продолжить инфимумом по мере объединения изначально измеримых множеств, содержащего заданное, но не выходит.
Подскажите пожалуйста.

[demolishka]

Maxim9 в сообщении #1108041 писал(а):

Пыталась продолжить инфимумом по мере объединения изначально измеримых множеств, содержащего заданное, но не выходит.

Попробуйте сделать ровно наоборот: взяв супремум и приближая изнутри. Естественно, отдельно оговорив граничные ситуации.

[Maxim9]

не совсем ясно как это сделать

[Brukvalub]

demolishka в сообщении #1108057 писал(а):

Попробуйте сделать ровно наоборот: взяв супремум и приближая изнутри. Естественно, отдельно оговорив граничные ситуации.

Как это сделать, например, для сигма-алебры, состоящей из четырех множеств: пустого (меры $0$), множества всех четных чисел (меры $\frac12$), множества всех нечетных чисел (меры $\frac12$) и множества всех натуральных чисел (меры $1$)?

[demolishka]

Да, что-то я поспешил Для продолженной меры должно выполняться $P(E) = \sum\limits_{k}P(\{a_k\}),$ где $a_k$ - составляющие, множество $E$ натуральные числа. Но в исходной $\sigma-$алгебре может не быть этих $a_k,$ хотя будет множество $E.$

Может можно как-то показать, что условия на суммы мер различных натуральных чисел ($P(E) = \sum\limits_{k}P(\{a_k\})$), которые накладывают все множества $E \in A$ разрешимы в совокупности?

[Brukvalub]

demolishka, возможно, нужно "порезать" множество натуральных числах на наименьшие по включению не пересекающиеся фрагменты (конечно, нужно обосновать возможность такого "разрезания"), эти фрагменты будут измеримы, а потом явно указать, как "размазать" меру фрагмента по составляющим фрагмент нат.числам (для конечных фрагментов и фрагментов нулевой меры можно размазывать равномерно, для бесконечных фрагментов положительной меры - с помощью бесконечного ряда с положительными членами, сходящегося к положительной мере фрагмента ).

[Maxim9]

а как порезать?

[Brukvalub]

Maxim9 в сообщении #1108085 писал(а):

а как порезать?

В этом-то весь смысл задачи и состоит. Например, брать пересечения элементов сигма-алгебры.

[Maxim9]

а вы можете более подробно объяснить как это сделать, пожалуйста?