Векторное произведение в координатах

[Fennec]

Привет!

У меня вопрос по векторному произведению: я знаю формулу, умею применять, знаю что означает результат, но мне совершенно не понятно откуда взялась сама формула, и что значат сами внутренние вычисления. Мне непонятно почему определитель матрицы вычисляется именно так, а не как-то иначе.

Часть вычислений связанных со скалярным произведением понятна - это проецирование на базис.

Но по какой причине

a_y b_z - a_z b_y
a_z b_x - a_x b_z
a_x b_y - a_y b_x

являются компонентами нового вектора и почему полученный вектор имеет именно то направление и именно ту длину мне не ясно. Есть ли где-нибудь доказательство этой формулы? На всех ресурсах, где я читал о векторном произведении формула давалась в виде "это так просто потому что".

[svv]

По этому вопросу тут было несколько тем, попробуйте поискать.

[angor6]

Fennec, наверное, нужно попробовать найти проекции векторного произведения на координатные оси базиса, чтобы убедиться или, напротив, опровергнуть предложенную формулу.

[Fennec]

angor6
подтвердить или опровергнуть это одно, а объяснить почему, все-таки пожалуй другое.

Пока что нашел, что векторное произведение, это некоторое упрощение над операцией внешнего произведения. Смотрю вот что за зверь такой.

[angor6]

Fennec, по-моему, подтвердить - это и есть объяснить. Что касается векторного произведения, то нужно ещё и иметь в виду, что оно является псевдовектором, поэтому тут есть свои сложности, как я понимаю. Кстати, что заставляет Вас находить объяснение формуле векторного произведения через определитель? Здесь, как я понимаю, многое зависит от физической природы перемножаемых векторов, если не стремиться к "объёмистому" обобщению. Почему Вы не хотите принять это как установленную процедуру, подобно, например, умножению комплексных чисел?

[Brukvalub]

Fennec в сообщении #1108036 писал(а):

Есть ли где-нибудь доказательство этой формулы? На всех ресурсах, где я читал о векторном произведении формула давалась в виде "это так просто потому что".

Открою вам страшную тайну: кроме сети в этом мире есть еще и учебники! Например, в учебниках по аналитической геометрии эти формулы доказываются!

[angor6]

Brukvalub, они доказываются, но не "объясняются". А именно это и смущает автора вопроса, как я понял.

[arseniiv]

angor6 в сообщении #1108052 писал(а):

оно является псевдовектором, поэтому тут есть свои сложности, как я понимаю

Это тут вообще ни при чём. Вывести компоненты векторного произведения из инвариантного определения можно и так.

[Mihr]

Fennec в сообщении #1108048 писал(а):

подтвердить или опровергнуть это одно, а объяснить почему, все-таки пожалуй другое.

А попробуйте вывести нужную формулу сами. Это в данном случае совсем не трудно. И все вопросы разом отпадут.

[angor6]

arseniiv в сообщении #1108062 писал(а):

Вывести компоненты векторного произведения из инвариантного определения можно и так.

Вывести и так - это как? Если так, как оно выводится, то автору вопроса нужно "объяснение". Вернулись к началу форума?

[arseniiv]

angor6 в сообщении #1108065 писал(а):

Вывести и так - это как?

Из определения. Оно будет примерно такое: «векторное произведение — это билинейная операция тра-ля-ля». Этот вывод и будет объяснением. Все объяснения, не связанные с этим выводом, по крайней мере, потенциально худшие.

[Brukvalub]

angor6 в сообщении #1108059 писал(а):

Brukvalub, они доказываются, но не "объясняются". А именно это и смущает автора вопроса, как я понял.

Читаем:

Fennec в сообщении #1108036 писал(а):

Есть ли где-нибудь доказательство этой формулы?

[Fennec]

Mihr в сообщении #1108064 писал(а):

Fennec в сообщении #1108048 писал(а):

подтвердить или опровергнуть это одно, а объяснить почему, все-таки пожалуй другое.

А попробуйте вывести нужную формулу сами. Это в данном случае совсем не трудно. И все вопросы разом отпадут.

Не очень понимаю как ее в принципе вывести. На что опираться? Просто на определение? Что результат должен обладать заданными свойствами? Тогда у меня всплывает вопрос "почему именно этими свойствами?". Как по мне, было бы и вовсе здорово, чтобы векторное произведение возвращало нормаль к плоскости образованной двумя векторами, но тем не менее получаемый вектор совсем не обязан быть единичным. Просто, ведь была же какая-то причина на то, чтобы провести расчеты именно так.

arseniiv в сообщении #1108062 писал(а):

Вывести компоненты векторного произведения из инвариантного определения можно и так.

Признаться я до сегодняшнего дня даже и не знал, что у векторного произведения есть инвариантная форма...

angor6 в сообщении #1108052 писал(а):

Кстати, что заставляет Вас находить объяснение формуле векторного произведения через определитель?

Может быть я делаю крайне поспешные выводы, но мне всегда казалось, что матрицы придумали для того, чтобы производить операции над векторами. Ну и поскольку определитель матрицы и векторное произведение это по сути одна и та же операция, я решил поискать между ними связь.

[Brukvalub]

Fennec в сообщении #1108077 писал(а):

Ну и поскольку определитель матрицы и векторное произведение это по сути одна и та же операция,

Да, это бесспорно, ведь определитель матрицы - это вектор (ну, или псевдовектор), но никак не скаляр.

[Mihr]

Fennec, пожалуй, я немного погорячился . Вывод нужной формулы действительно очень прост... но только если предварительно доказана линейность операции векторного умножения по каждому сомножителю. А это всё же требует некоторых усилий.
На мой взгляд, в данном вопросе нетрудно разобраться по книге Беклемишев Д.В. - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (глава 1, §3). Перескажу здесь только основные вехи доказательства-вывода.
1. Вначале на основе определения векторного произведения находятся результаты векторного умножения координатных ортов. Здесь никаких сложностей нет.
2. Далее доказывается билинейность (линейность по каждому сомножителю) операции векторного умножения. Беклемишев это делает так: сразу вслед за векторным произведением рассматривает смешанное произведение трёх векторов и устанавливает геометрический смысл его модуля (объём параллелепипеда, построенного на сомножителях). Пользуясь линейностью скалярного произведения, а также тем фактом, что за основание параллелепипеда можно принять любую его грань, он выводит свойство билинейности векторного произведения. (Это - более или менее объёмная часть общего вывода нужной нам формулы).
3. Теперь остаётся подставить в векторное произведение разложение каждого сомножителя по базису и аккуратно раскрыть скобки, воспользовавшись результатом пункта 1. Получившийся результат легко переписать в виде определителя.
Если такая последовательность шагов Вас устраивает, посмотрите указанную книгу.