2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О теореме Ферма
Сообщение19.03.2016, 20:30 


24/01/16
5
Положительные рациональные числа $z, x, y$ удовлетворяющие соотношение
$x^3+y^3=z^3$ (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенства
$z > x$; $z > y$; (1)
$z < x + y$; (2)
Если $z\geqslant x + y$, то $z^3 > x^3+y^3$.
$z^2<x^2+y^2$; (3)
Если $z^2\geqslant x^2+y^2$, то $z^3 > x^3+y^3$.
Отметим, что из (2) следует (1), но не наоборот.
$x\ne y$; (4)
Если $x=y$, то $z^3=2x^3$, откуда следует, что $\sqrt[3]{2}=\frac{z}{x}$, где $z$ и $x$ - рациональные числа, но число $\sqrt[3]{2}$ иррациональное.
Условия (2), (3), (4) позволяют сделать вывод, что числа $z, x, y$ могут быть выражены сторонами разностороннего остроугольного треугольника. Наибольший угол $\gamma$ этого треугольника, лежащий против стороны $z$ , удовлетворяет неравенству
$60^{\circ} < \gamma < 90^{\circ}$
Если $\gamma \leqslant 60^{\circ}$ то сумма углов треугольника была бы меньше $180^{\circ}$.
Тогда
$0<\cos \gamma <\frac{1}{2}$,
$0<2\cos \gamma < 1$.
Обозначим $2\cos \gamma =  k$.
По теореме косинусов
$z^2=x^2+y^2-2xy\cos\gamma$, или
$z^2=x^2+y^2 - kxy$.
Так как $z,x,y$ - рациональные числа то и $k$ - рациональное число. Разделим на $z^2$ и получим
$ 1 = (\frac{x}{z})^2 + (\frac{y}{z})^2 - k \frac{x}{z}\frac{y}{z} $.
Обозначим
$\frac{x}{z}=a$; $\frac{y}{z}=b$
$1=a^2+b^2-kab$
$1-a^2=b^2-kab$
$(1-a)(1+a)=b(b-ka)$
$\frac{b}{1+a}=\frac{1-a}{b-ka}=t$, где $t$ - рациональное число.
Имеем систему
$\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{b}{1+a}=t \\
\frac{1-a}{b-ka}=t 
\end{array}
\right.$
Ее решение –
$a= r\frac{1-t^2}{t^2-kt+1} $; $b=r\frac{2t-kt^2}{t^2-kt+1}$.
Где $r$ – рациональное число, которое без потери общности можно считать равным 1. Рациональное число $t$ запишем как отношение натуральных чисел
$t=\frac{u}{v}$
В результате
$\frac{x}{r}=\frac{1-\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$; $\frac{y}{r}=\frac{2\frac{u}{v}-k\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$;
$x=r(v^2-u^2)$, $y=r(2uv-ku^2)$, $z=r(u^2+v^2-kuv)$.
Так как $r=1$ получаем следующее:
$x=v^2-u^2$, $y=2uv-ku^2$, $z=u^2+v^2-kuv$.
Из условия $z>x$ имеем
$v^2+u^2-kuv>v^2-u^2$
$2u^2>kuv$
$2u>kv$
$v<\frac{2u}{k}$
Из условия $z>y$ имеем
$v^2+u^2-kuv>2uv-ku^2$
$v^2+u^2(1+k)-(2+k)uv>0$
$\frac{v^2}{u^2}-(2+k)\frac{v}{u}+(1+k)>0$
Решаем неравенство, относительно $\frac{v}{u}$
$D=(2+k)^2-4(1+k)=4+4k+k^2-4-4k=k^2$
$\sqrt{D}=k$
Следовательно, или
$\frac{v}{u}<\frac{2+k-k}{2}=1$; $\frac{u}{v}<1$, что невозможно, ибо $v>u$.
или
$\frac{v}{u}>\frac{2+k+k}{2}=1+k$; $v>u+ku$.
Таким образом $v$ удовлетворяет двойное неравенство
$u+ku<v<\frac{2u}{k}$
Предположим существование таких значений как $u,v\text{ и }k\in(u+ku; \frac{2u}{k})$, что определяемые ими $x,y,z$ удовлетворяют уравнение
$z^3=x^3+y^3$.
Зафиксируем необходимые значения и их и рассмотрим.
Две непрерывные функции от $v$ на интервале $\begin{bmatrix}u+ku, \frac{2u}{k}\end{bmatrix}$; $v \in R$
$\int_1(v)=(v^2+u^2-kuv)^3$;
$\int_2(v)=(v^2-u^2-)^3+(2uv-ku^2)^3$.
Для выполнения равенства $z^3=x^3+y^3$ , необходимо, что бы нашлось натуральное число $v$, такое что
$v \in (u+ku;\frac{2u}{k})$
и
$\int_1(v)=\int_2(v)$
$\int_1(u+ku)=\int_2(u+ku)$
$\int_1(\frac{2u}{k})=\int_2(\frac{2u}{k})$
Производные от которых
$\int_1(v)=3(v^2+u^2-kuv)^2(2v-ku)>0$
$\int_2(v)=3(v^2-u^2)2v+3(2uv-ku^2)^2 2u>0$
на промежутке
$\begin{bmatrix}u+ku, \frac{2u}{k}\end{bmatrix}$
Обе функции монотонно возрастают на промежутке, при этом на его концах значения первой функции меньше соответствующих значений второй. Следовательно, ни при каком значении $v$ из этого промежутка не будет выполняться равенство $\int_1(v)=\int_2(v)$ и так же равенство $z^3=x^3+y^3$ . Таким образом, это уравнение не имеет положительных рациональных решений (в том числе натуральных). Эти рассуждения можно привести для любого показателя степени n, такого что $2<n\leqslant 3$.

Рассмотрим уравнение $z^4=x^4+y^4$.
Положительные рациональные числа ему удовлетворяющие должны удовлетворять неравенству
$z^3<x^3+y^3$ (5)
Отметим, что из (5) следует (2) и (1), но не наоборот.
Проведя полностью аналогичные предыдущим рассуждения, приходим к выводу, что уравнение $z^4=x^4+y^4$ не имеет рациональных положительных решений и что это справедливо для любого показателя степени n, такого что $3<n\leqslant 4$.

Повторяя эти шаги для $n = 5,6,7…$, приходим к выводу - уравнение
$z^n=x^n+y^n$
при ЛЮБОМ $n > 2$ не имеет положительных рациональных решений (в том числе и натуральных). Ограничимся пока натуральными значениями $n>2$. Если $n$ – четное число, то очевидно, что уравнение $z^n=x^n+y^n$ не будет иметь никаких рациональных решений.
Если $n$ – нечетное, то$ x,y,z$ не могут быть одновременно отрицательными рациональными числами, так как умножение уравнения на $-1$ приведет к положительным рациональным решениям.

Очевидно, что невозможны случаи
$x<0$; $y<0$; $z>0$ и
$x>0$; $y>0$; $z<0$.

Рассмотрим возможность $x<0$; $y>0$; $z>0$:
$z^n=x^n+y^n$
$y^n=z^n-x^n$
$y^n=z^n+(-x^n)$
При этом $y>0$; $z>0$; $(-x)>0$, т.е. уравнение имеет положительные рациональные решения, что невозможно.
Возможность решения при $x>0$; $y<0$; $z>0$ рассматривается аналогичным образом.

Рассмотрим возможность решения при $x<0$; $y>0$; $z<0$:
$x^n+y^n=z^n$
$y^n+(-z^n)=(-x^n)$
при этом $y>0$; $(-z)>0$; $(-x)>0$ что невозможно.
Аналогично $x>0$; $y<0$; $z<0$.

Рассмотрим случай $n=\frac{e}{m}$.
Имеем уравнение
$x\frac{e}{m}+y\frac{e}{m}=z\frac{e}{m}$
из которого вытекает, что
$(\sqrt[m]{x})^e+(\sqrt[m]{y})^e=(\sqrt[m]{z})^e$
Для существования рациональных решений все радикалы должны иметь рациональные значения.
Приходим к уже рассмотренным возможностям.
В случае иррационального показателя степени n предельным переходом приходим к тому же выводу:
"Уравнение $x^n+y^n=z^n$, при любом $n>2$; $n \in R$", имеет решением такую тройку чисел, что по меньшей мере одно из них является иррациональным. Например, уравнение
$x^3+y^3=z^3$ имеет решение $x=1; y=2; z=\sqrt[3]{9}$"

В общем, как то так. Доказательство не мое, я всего лишь рерайтер. Так что возможны мелкие или же крупные ошибки, которые, надеюсь, опытные форумчане, а так же, уважаемые модераторы, выявят. Автор сего труда, Желтков В.Ю., мой непосредственный родственник,так что конструктивные замечания и или же указания на ошибки не останутся незамеченными.
Всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ферма
Сообщение19.03.2016, 22:44 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
artez в сообщении #1107920 писал(а):
Имеем систему
$\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{b}{1+a}=t \\
\frac{1-a}{b-ka}=t 
\end{array}
\right.$
Ее решение –
$a= r\frac{1-t^2}{t^2-kt+1} $; $b=r\frac{2t-kt^2}{t^2-kt+1}$.
Где $r$ – рациональное число, которое без потери общности можно считать равным 1.
Это решение только при $r=1$.

artez в сообщении #1107920 писал(а):
В результате
$\frac{x}{r}=\frac{1-\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$; $\frac{y}{r}=\frac{2\frac{u}{v}-k\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$;
А здесь вы перепутали $z$ и $r$ (которое, как мы помним, равно 1). Дальнейшие выводы совсем неправилные.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ферма
Сообщение21.03.2016, 12:20 


24/01/16
5
При подстановке уравнения Ферма, $r$ все равно сокращается, вне зависимости от принятого значения. Поэтому и принимается равным 1.

Да, действительно, перепутал $r$ c $z$.
Данные вычисления следует читать как
$\frac{x}{z}=\frac{1-\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$; $\frac{y}{z}=\frac{2\frac{u}{v}-k\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$;

Будьте добры, укажите в чем неверность выводов.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ферма
Сообщение21.03.2016, 14:07 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый artez! Если $kxy$ число целое, то нет доказательства того , что $ku^2$ и $kuv$ также числа целые.
Если эти числа не целые, то x и y также числа не целые.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ферма
Сообщение21.03.2016, 15:42 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
artez в сообщении #1108224 писал(а):
При подстановке уравнения Ферма, $r$ все равно сокращается, вне зависимости от принятого значения. Поэтому и принимается равным 1.
Не сокращается.

artez в сообщении #1108224 писал(а):
Да, действительно, перепутал $r$ c $z$.
Данные вычисления следует читать как
$\frac{x}{z}=\frac{1-\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$; $\frac{y}{z}=\frac{2\frac{u}{v}-k\frac{u^2}{v^2}}{\frac{u^2}{v^2}-k\frac{u}{v}+1}$;

Будьте добры, укажите в чем неверность выводов.
Первый же вывод о неразрешимости неравенств неверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ферма
Сообщение21.03.2016, 17:49 


21/03/16

9
artez в сообщении #1107920 писал(а):
По теореме косинусов
$z^2=x^2+y^2-2xy\cos\gamma$, (1)
или
$z^2=x^2+y^2 - kxy$. (2)

Уважаемый(ая) artez,
в соответствии с этими формулами $k=2\cos\gamma$.
В соответствии с теоремой косинусов косинус угла всегда равен:
$\cos\gamma=\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}$
В этом случае всегда:
$k=2\cos\gamma=\frac{x^2+y^2-z^2}{xy}$
Обращаю Ваше внимание на то, что $k$ - простая дробь, а не целое число.
Подставив значение числа $k$ в уравнение (1), получим: $z^2=z^2$
Извините, но все Ваши старания были напрасными.
P.S. Уважайте оппонентов, номеруйте формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ферма
Сообщение21.03.2016, 19:08 


24/01/16
5
Уважаемый, venco!
Обоснование неверности выводов имеется?

Уважаемый, uxamat!
Естественно, что обратная подстановка даст именно $z^2=z^2$.
Более того, как может быть число $k$ целым, если оно лежит на промежутке $0<k<1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ферма
Сообщение21.03.2016, 19:57 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
artez в сообщении #1108312 писал(а):
Уважаемый, venco!
Обоснование неверности выводов имеется?
Так вы исправили ошибку в последующих формулах?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group