несобственный интеграл с помощью вычетов

[yoshka]

ломаю голову над интегралом вида

$$\int_{0}^{\infty} \frac {\ln x} {\(x+1)^2}dx$$

решаю в комплексной плоскости, чтоб затем взять действительную часть за решение.
если делать замену $\ln x= {e ^z}$
получаю множество особых точек $z=(\pi + 2\pi)i$
и контур никакой выбрать не получается:(
помогите, кто чем может.

[Someone]

Обычно делают разрез вдоль действительной оси от $0$ до $+\infty$. А контур берут такой: отрезок от $r>0$ до $R>r$ по верхнему берегу разреза, затем окружность радиуса $R$ с центром в $0$ против часовой стрелки, затем отрезок от $R$ до $r$ по нижнему берегу разреза, и, наконец, окружность радиуса $r$ с центром $0$ по часовой стрелке. Затем берут предел, когда $r\to 0^+$ и $R\to+\infty$.

Если Вы проделаете вычисления для $\int_0^{+\infty}\frac{\ln x}{(x+1)^2}dx$, то вычислите $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)^2}$. Чтобы вычислить Ваш интеграл, нужно рассмотреть $\int_0^{+\infty}\frac{\ln^2x}{(x+1)^2}dx$.

[yoshka]

ага..спасибо, я этот контур и брала, но решение преподавателю не понравилось, теперь понятно почему:)
еще раз, спасибо:)

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 20 секунд:

Someone писал(а):

Если Вы проделаете вычисления для $\int_0^{+\infty}\frac{\ln x}{(x+1)^2}dx$, то вычислите $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)^2}$. Чтобы вычислить Ваш интеграл, нужно рассмотреть $\int_0^{+\infty}\frac{\ln^2x}{(x+1)^2}dx$.

объясните пожалуста, а почему? никак до меня не доходит:(

[Someone]

Интегралы по окружностям при указанном предельном переходе стремятся к $0$, верхний берег разреза при этом проходится в положительном направлении, нижний - в отрицательном. Поэтому в пределе получается разность двух интегралов: интеграл по верхнему берегу минус интеграл по нижнему берегу.
Берём ту ветвь логарифма, которая на верхнем берегу совпадает с $\ln x$. Тогда на нижнем берегу эта ветвь будет принимать значения $\ln x+2\pi i$.
Если мы применяем этот метод к $\int_0^{+\infty}\frac{\ln^nx}{(x+1)^2}dx$, то получаем

$$\lim\limits_{{r\to 0^+}\atop{R\to+\infty}}\int\limits_{\Gamma_{r,R}}\frac{\ln^nz}{(z+1)^2}dz=\int\limits_0^{+\infty}\frac{\ln^nx}{(x+1)^2}dx-\int\limits_0^{+\infty}\frac{(\ln x+2\pi i)^n}{(x+1)^2}dx\text{.}$$

После раскрытия скобок в последнем интеграле (по формуле бинома Ньютона) $\int_0^{+\infty}\frac{\ln^nx}{(x+1)^2}dx$ сокращается.

Подробнее смотрите в учебнике.