Иррациональное число-2

[scwec]

Докажите, что число $S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{a_n}{n!}$ иррационально, если $\{a_n\}_{n=0}^{n=\infty}$ - ограниченная последовательность ненулевых целых чисел.

[DeBill]

Можно сослаться на то, что уж слишком быстро $S$ приближается рациональными.
А можно просто повторить д-во иррациональности "$e$" из Зорича: пусть $S= \frac{p}{q}$, а $\left\lvert a_n \right\rvert \leqslant C$ для всех $n$. Из ненулёвости членов следует, что многия частичные суммы не равны $S$. Выберем $N > C, N > q$, так, что $N$-я частичная сумма равна $ S_N=\frac{M}{N!}$ не равна $S$. Тогда $r=\left\lvert S_N - S\right\rvert = \left\lvert\frac{M}{N!}- \frac{p}{q} \right\rvert = \left\lvert\frac{M-M'}{N!}\right\rvert \geqslant \frac{1}{N!}$ .
С другой стороны, $r \leqslant \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{C}{n!} \leqslant \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{(N+1)^{n-N}} = \frac{C}{N\cdot N!}$.
Противоречие.

[scwec]

Доказательство по Зоричу, конечно, верное.
А вот что имелось в виду

DeBill в сообщении #1107699 писал(а):

уж слишком быстро $S$ приближается рациональными

Мера иррациональности $S$ больше $1$ или что-то другое? Невооруженным глазом это не видно. Поясните, что имелось в виду.
Вообще, интересно, какие последовательности здесь приводят к трансцендентным числам и какие у них меры иррациональности.
Может быть, все как у $e$, два?

[DeBill]

DeBill в сообщении #1107699 писал(а):

слишком быстро $S$ приближается рациональными.

Пардон, это мне привиделось...

[scwec]

Принимается.
Вопросы о мере иррациональности остаются.
Знаю, что есть участники (имена, явки известны), которые могли бы рассказать полезное по этому поводу .