Вращение двух маховиков

[Ivan Y.]

Добрый день, уважаемые форумчане !

В Учебнике Сивухина Т.1 "Механика", Параграф 37, "Движущиеся начала и движущиеся оси" приводится задача N12:
Шкивы двух маховиков соединены ремнем. Радиусы шкивов равны $R_1$ и $R_2$. Моменты инерции маховиков относительно их геометрических осей равны $I_1$ и $I_2$. Удерживая второй маховик и ремень неподвижными, раскручивают первый маховик до угловой скорости $\omega_0$, вследствие чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение. Затем ремень и второй маховик отпускают. Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил трения скольжения между ремнем и осями маховиков, найти установившиеся скорости вращения маховиков $\omega_1$ и $\omega_2$, т.е. скорости после прекращения скольжения. Найти также потерю $\Delta K$ кинетической энергии на трение скольжения. Массой ремня пренебречь.

В книге приводится решение задачи на основе записи для маховиков уравнения динамики вращательного движения:
$I_1\frac{d\omega_1}{dt}=(T_1-T_2)R_1$
$I_2\frac{d\omega_2}{dt}=(T_2-T_1)R_2$
Интегрирование которых дает решение искомой задачи.

Вопрос в следующем. Почему для данной задачи нельзя применить закон сохранения момента импульса ?
Силы реакции осей, удерживающие маховики на месте, являются внешними, но по идее не имеют момента относительно рассматриваемых осей вращения. Силы натяжения же, с учетом невесомости ремня, являются внутренними. Аналогичной является задача о соприкосновении разогнанных маховиков, где установление движения происходит за счет сил трения. В этом случае силы трения также можно рассматривать как внутренние.
Вообще касательно законов сохранения импульса и момента импульса возникает довольно много вопросов, которые постоянно упираются в то, как выбрать замкнутую систему, в которой они выполняются. Почему-то в литературе, в задачниках очень мало внимания уделяется именно обоснованию, применимости законов сохранения для данной конкретной задачи. Может быть кто-нибудь может подсказать книгу с примерами, где это детально разжевано ?

Заранее благодарю за помощь!

[Pphantom]

Ivan Y. в сообщении #1107653 писал(а):

Вопрос в следующем. Почему для данной задачи нельзя применить закон сохранения момента импульса ?

А чем, вообще говоря, являются "уравнения динамики вращательного движения"?

[Ivan Y.]

Уравнения динамики вращательного движения являются формой записи закона изменения момента импульса каждого из маховиков в отдельности в данном случае. То есть Вы хотите сказать что силы натяжения ремня не являются внутренними , если рассматривать каждый из маховиков в отдельности ? А что если рассмотреть оба маховика как замкнутую систему ? Как в этом случае записать закон сохранения момента импульса ?

[Pphantom]

Ivan Y. в сообщении #1107670 писал(а):

То есть Вы хотите сказать что силы натяжения ремня не являются внутренними , если рассматривать каждый из маховиков в отдельности ?

Именно так.

Ivan Y. в сообщении #1107670 писал(а):

А что если рассмотреть оба маховика как замкнутую систему ? Как в этом случае записать закон сохранения момента импульса ?

Вообще говоря, правила преобразования моментов при смене полюсов известны. Для моментов сил это сделать несложно, а вот для моментов импульсов придется основательно поработать. Вспомнить определение момента импульса материальной точки, проинтегрировать элементарные моменты по всей системе... В принципе, эта задача решаема, хотя действовать таким путем предельно неэффективно.

[Ivan Y.]

Ага, значит дело по сути в том , что имеется два различных полюса. Если описать движение двух маховиков относительно одного полюса, в закон изменения импульса войдет еще и импульс момента реакции опоры одного из маховиков, на стадии установления, которая в этом случае уже совершенно точно - внешняя, и полный импульс системы не сохраняется . Если так, то вроде бы понятно, откуда ноги растут Если я правильно понимаю, то получается что для вращательного движения даже неподвижные, но разнесенные в пространстве, системы отсчета не являются эквивалентными. Ведь в случае поступательного движения, закон сохранения импульса одинаково записывается в любой инерциальной системе отчета, даже в том случае если одна система движется относительно другой с постоянной скоростью. А для вращательного движения разнесенные в пространстве, но покоящиеся системы - уже не эквивалентны ? Эквивалентными будут системы отсчета, вращающиеся относительно начала. И это по сути отражение того, что закон сохранения импульса следует из однородности пространства, а закон сохранения момента импульса - из изотропности ?

[Pphantom]

Ivan Y. в сообщении #1107680 писал(а):

в закон изменения импульса войдет еще и импульс момента реакции опоры одного из маховиков, на стадии установления, которая в этом случае уже совершенно точно - внешняя, и полный импульс системы не сохраняется .

А еще момент импульса того же маховика, совершающего сравнительно сложное движение вокруг оси, не совпадающей с его осью симметрии.

Ivan Y. в сообщении #1107680 писал(а):

Если я правильно понимаю, то получается что для вращательного движения даже неподвижные, но разнесенные в пространстве, системы отсчета не являются эквивалентными.

Да.

Ivan Y. в сообщении #1107680 писал(а):

И это по сути отражение того, что закон сохранения импульса следует из однородности пространства, а закон сохранения момента импульса - из изотропности ?

Ну, в принципе, можно сказать и так, хотя я не стал бы привлекать столь высокие материи к объяснению достаточно тривиального факта.

[Ivan Y.]

Цитата:

Ну, в принципе, можно сказать и так, хотя я не стал бы привлекать столь высокие материи к объяснению достаточно тривиального факта.

Ясно. Просто хочется в некотором смысле разложить все по полкам

Большое спасибо, Pphantom! Очень помогли разобраться.

[Theoristos]

Ivan Y. в сообщении #1107653 писал(а):

Вопрос в следующем. Почему для данной задачи нельзя применить закон сохранения момента импульса ?
Силы реакции осей, удерживающие маховики на месте, являются внешними, но по идее не имеют момента относительно рассматриваемых осей вращения.

Вопрос любопытный и редко где освещаемый.
Тонкость именно в том, что во всяких ременных/зубчатых передачах на их осях действительно создаётся определённый суммарный момент, входящий в закон сохранения моментов.
Иначе одновременно требование сохранения энергии вращательного движения и момента импульса не удовлетворить, при наличии не единичного передаточного числа.

[Walker_XXI]

Ivan Y. в сообщении #1107653 писал(а):

Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил трения скольжения между ремнем и осями маховиков, найти установившиеся скорости вращения маховиков $\omega_1$ и $\omega_2$, т.е. скорости после прекращения скольжения. Найти также потерю $\Delta K$ кинетической энергии на трение скольжения.

На мой взгляд, ключевой момент - наличие диссипативных сил трения скольжения. Закон сохранения моментов хорош в паре с законом сохранения энергии, а последний тут не имеет места.