Система дифуров - нужен совет

[denny]

Помогаю разобраться знакомой с такой системой:

$$ \begin{cases} \dot{x_1}=e_1 x_1 (1-\frac{x_1}{k_1})+g_{12} x_1 x_2\\ \dot{x_2}=e_2 x_2 (1-\frac{x_2}{k_2})+g_{21} x_1 x_2\\ \end{cases} $$

Задача учебная, из экономики. Имеется 4 точки равновесия. Нужно проанализировать устойчивость.
Первые три вполне типичны для учебных задач: $(0,0), (k_1,0),(0,k_2)$
Но координаты четвертой получаются довольно громоздкие; а уж если потом находить
собственные значения, то Mathematica выдает строк 10 корней и дробей.
Это довольно странно для задания такого типа.
Уверен, что формально все делаю правильно.
Но может, нужно сделать подходящую замену переменных,
чтобы упростить выражения?
Или как-то "сразу" доказать, что четвертая точка имеет определенный тип?

[svv]

Сверимся? Пусть $x_{i0}$ — координаты четвертой точки равновесия, $\xi_i=x_i-x_{i0}$.
У меня линеаризованная система получилась такая:
$\begin{bmatrix}\dot\xi_1\\\dot\xi_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{e_1 x_{10}}{k_1}&g_{12}x_{10}\\g_{21}x_{20}&-\frac{e_2 x_{20}}{k_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi_1\\\xi_2\end{bmatrix}$

[Otta]

Правильно. :)

[denny]

Да, все правильно. Только вот координаты этой точки получаются громоздкими.
А якобиан и собственные значения - вообще неподъёмные.
Я пошел другим путем. По теореме Ляпунова, общую устойчивость можно оценить
по знаку следа якобиана. А там уже все не так страшно.

[DeBill]

denny в сообщении #1107437 писал(а):

можно оценить
по знаку следа якобиана

Оценить - куда? Ну, если координаты Вашей точки - положительны (а вы таки все еще ленитесь ее посчитать - а ведь придется!), то след отрицателен. И чё?