Редукция в ВТФ

[lasta]

Редукция в ВТФ.
УФ состоит из трех степеней. Но простое доказательство ВТФ сталкивается с бесчисленными сложными связями между числами. Поэтому даже для Ферма оно было поистине удивительным (чудесным). Еще Ферма восторгался изобретенным им способом доказательств сложных утверждений - редукцией (бесконечным спуском).
Сила редукции в том, что найденная для частного случая, она значительно упрощает доказательство утверждения в общем.
Так при использовании только общих свойств степеней с простым показателем $p>2$ достаточно найти редукцию для одной степени (например, для кубов) и ВТФ будет доказана в целом. Хотя доказательство достаточности выбора общих свойств - не простая задача.
Все это так заманчиво, что отказаться от попытки поискать иголку в стоге сена просто не возможно. Тем более, что в этом стогу перещупали всю солому.
Объединяющим все указанные степени свойством, являются то, что сумма степеней всегда составное число. Это отличает их от квадратов. У которых сумма может быть и составными и простыми числами.
Итак, редукция для соседних кубов
Определения:
Разность соседних кубов

$$V_b=(b+1)^3-b^3\qquad \e(1)$$

Нижний индекс $b$ - порядковый номер разности соседних кубов в их последовательности по возрастанию равен основанию меньшего куба $b^3$
Вторая разность соседних кубов

$$W_b= V_b -V_{b-1}=[(b+1)^3-b^3]- [b^3- (b-1)^3]=6b\qquad \e(2)$$

Нижний индекс совпадает с основанием куба $b^3$.
Любой куб равняется полной сумме разностей соседних кубов

$$a^3=\sum_{i=0}^a{Vi}.$$

В числах это выглядит так

$$a^3=\makebox{\underbrace{[1+7+19+37+61]}_{5^3}} +91+…+V_{a-1}\qquad \e(3)$$

Любая разность кубов равняется полной сумме вторых разностей соседних кубов.

$$V_b =\sum_{i=0}^b {W_i}$$

В числах

$$V_b=\makebox{\underbrace{[1+6\cdot1+6\cdot2+6\cdot3]}_{4^3-3^3=37}} +6\cdot4+…+6b \qquad \e(4)$$

Исходное равенство:

$$a^3=(b+1)^3-b^3=V_b;\quad a\in Q;\quad b\in N\qquad \e(5)$$

согласно (4)

$$V_b=\makebox{\underbrace{[1+6\cdot1+6\cdot2+…+6(a-1)]}_{a^3-(a-1)^3}} +\makebox{\underbrace {[ 6a+…+6b]}_{(a-1)^3}} .\qquad \e(6)$$

Так как $a\in Q$, то сумма слагаемых во вторых квадратных скобках равна $(a-1)^3$ независимо от того является $a$ натуральным или иррациональным. И на основании этого формулируется первый шаг редукции

$$a\in \mathbb {N} \Leftrightarrow{(a-1)}\in \mathbb N$$

Тогда существует другое равенство в меньших целых числах. То есть

$$a\in \mathbb {N};\qquad a^3=(b+1)^3-b^3\Longleftrightarrow {c^3=(d+1)^3-d^3 };\qquad c\in \mathbb N\qquad\e(7)$$

Действительно, сумма прогрессии во вторых квадратных скобках (6)

$$(a-1)^3=3(a+b)(b+1-a)$$

Пусть $(b+1-a)$ делится на 3. Числа $(b+1)$;и $a$ - взаимно простые, поэтому при $a\in N;\qquad (a+b)=a_1^3;\qquad 3(b+1-a)=a_2^3 $ Тогда,

$$(a-1)^3=a_1^3a_2^3\qquad\e(8)$$

Вычитая по половине разности соседних кубов $V_{a_1-1}/2$ из каждого числа $a,b$, получим новый куб целого числа, так как при таком вычитании $a_2^3$ не изменяется, а $a_1^3$ уменьшается ровно на разницу соседних кубов $a_1-V_{a_1-1}=a_1^3-(a_1^3-(a_1-1)^3)=(a_1-1)^3$ То есть

$$c^3=(a-V_{a_1-1}/2)+(b-V_{a_1-1}/2)[3(b+1-V_{a_1-1}/2)-(a-V_{a_1-1}/2)]$$

Или

$$c^3=(a+b-V_{a_1-1})3(b+1-a)=(a_1-1)^3a_2^3\qquad\e(9)$$

Делилась на 2 всегда нечетная разность соседних кубов, поэтому произошел переход к дробным числам. Но это не разрушает редукцию. Так как в результате в (7) появился куб меньшего целого числа $c^3<a^3$ с теми же свойствами, что и у куба $a^3$. А именно, его соседний меньший куб целого числа $(c-1)^3$ является также составным числом, как и соседний меньший куб $(a-1)^3$ у $a^3$.
Второй шаг редукции. Снова вычитая половину разности соседних кубов $V_{с_1-1}$ из каждого числа $c,d$ , также получим новое равенство с новым кубом целого числа меньшего, чем в предыдущем шаге с теми же свойствами, что и у куба $c^3$. И так до бесконечности. Но не существует бесконечной редукции для целых чисел. Следовательно, ВТФ доказана для соседних кубов с использованием общего свойства существования суммы двух степеней всегда в виде произведения взаимно простых чисел, что отличает их от квадратов, у которых тройка решения не обязательно составные числа. И если бы мы не знали ни одного решения для квадратов и пытались бы применить редукцию для утверждения, что решений нет, то мы не получали бы новых меньших решений на каждом шаге, с теми же -свойствами, что и у предыдущего шага и пришли бы, применив конечное число шагов, к известной тройке не составных чисел 3,4,5. А основное принципа редукции то, что в ней должно быть бесконечное число шагов. В силу использования при доказательстве ВТФ для соседних кубов только общих свойств для всех степеней можно считать, что это доказательство подходит для всех степеней. Для завершения остается рассмотреть побочные частные случаи, которые, есть надежда, не повлияют на общее доказательство.

[lasta]

Насколько хорош метод покажем на примере применения найденной редукции для доказательства ВТФ общего случая кубов. Поэтому при $a\in Q;\qquad (b,c) \in N$ рассмотрим справедливое для всех решений УФ, равенство

$$f^3=(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)\qquad \e(10)$$

Равенство (10) для соседних кубов вырождается в $f^3=(a+b-(b+1))^3=(x-1)^3=3(a+b)(b+1-a)$. Поэтому при том же условии кратности трем $(c-a)$ , общее доказательство теоремы для кубов требует учета куба$(c-b)$. Но это не дает новых сложностей. Так как этот куб имеет такие же свойства при вычитании половины соседней разности $V_{c -1}/2$ из чисел $(c,b)$ и при этом не изменяет своего значения. Значит к найденной редукции для соседних кубов необходимо добавить рассмотренный анализ куба $c-b$.

[lasta]

В изложении доказательства есть сложные моменты, которые необходимо прояснить. Принцип единственности минимального решения, сводит редукцию до одного шага, при котором появляется меньшее решение и сохраняются свойства минимального куба. С учетом этого, в дальнейшем будет осуществлена правка текста.

[Феликс Шмидель]

lasta в сообщении #1107067 писал(а):

Исходное равенство:

$$a^3=(b+1)^3-b^3=V_b;\quad a\in Q;\quad b\in N\qquad \e(5)$$

согласно (4)

$$V_b=\makebox{\underbrace{[1+6\cdot1+6\cdot2+…+6(a-1)]}_{a^3-(a-1)^3}} +\makebox{\underbrace {[ 6a+…+6b]}_{(a-1)^3}} .\qquad \e(6)$$

Так как $a\in Q$, то сумма слагаемых во вторых квадратных скобках равна $(a-1)^3$ независимо от того является $a$ натуральным или иррациональным.

Здесь слово "иррациональным" следует заменить на "рациональным".
Кроме этого, если $a$ не является натуральным, непонятно, чему равны выражения в квадратных скобках в равенстве (6).

[lasta]

lasta в сообщении #1107067 писал(а):

Так как $a\in Q$, то сумма слагаемых во вторых квадратных скобках равна $(a-1)^3$ независимо от того является $a$ натуральным или иррациональным.

Опечатка. Следует читать Так как $a\in R$, то сумма слагаемых во вторых квадратных скобках равна $(a-1)^3$ независимо от того является $a$ натуральным или иррациональным

lasta в сообщении #1107067 писал(а):

Исходное равенство:

$$a^3=(b+1)^3-b^3=V_b;\quad a\in Q;\quad b\in N\qquad \e(5)$$

Следует читать: Исходное равенство:

$$a^3=(b+1)^3-b^3=V_b;\quad a\in R;\quad b\in N\qquad \e(5)$$

lasta в сообщении #1107067 писал(а):

$a_1^3$ уменьшается ровно на разницу соседних кубов $a_1-V_{a_1-1}=a_1^3-(a_1^3-(a_1-1)^3)=(a_1-1)^3$ То есть

$$c^3=(a-V_{a_1-1}/2)+(b-V_{a_1-1}/2)[3(b+1-V_{a_1-1}/2)-(a-V_{a_1-1}/2)]$$

Следует читать:$a_1^3$ уменьшается ровно на разницу соседних кубов $a_1^3-V_{a_1-1}=a_1^3-(a_1^3-(a_1-1)^3)=(a_1-1)^3$ То есть

$$c^3=[(a-V_{a_1-1}/2)+(b-V_{a_1-1}/2)][3(b+1-V_{a_1-1}/2)-(a-V_{a_1-1}/2)]$$

Феликс Шмидель в сообщении #1107531 писал(а):

Кроме этого, если $a$ не является натуральным, непонятно, чему равны выражения в квадратных скобках в равенстве (6).

Уважаемый Феликс Шмидель! Спасибо за участие в теме и найденные ошибки. Выражение в квадратных скобках определяется согласно (4) из разности кубов $V_b=(b+1)^3-b^3$. Так как $b \in N$, то эта разность натуральная. Поэтому сумма прогрессия в квадратных скобках - натуральная. Куб $a^3$, определяемый разностью кубов, - всегда натуральный. А число $a$ может быть и иррациональным. $3^3-2^3= (\sqrt [3]{19})^3$

[lasta]

Итак, некоторые разъяснения сложных мест.
Уважаемый Феликс Шмидель задал вопрос о принадлежности к натуральным числам суммы в квадратных скобках (6) при не натуральном $a$. Но мое первое разъяснение вряд ли внесло ясность в этом вопросе. Поэтому подробно. Введем переменную $x$. С учетом этого перепишем (6)

$$V_b=\makebox{\underbrace{[1+6\cdot1+6\cdot2+…+6(x-1)]}_{V_{x-1}=x^3-(x-1)^3}} +\makebox{\underbrace {[ 6x+…+6b]}_{\sum_x^b{6i}}} .\qquad \e(6.1)$$

Тогда для всех натуральных $x<b$ существует натуральная разность соседних кубов $V_{x-1}$ при натуральной сумме в квадратных скобках (6.1) То есть

$$\forall x\in \mathbb N<b \qquad \exists V_{x-1}=x^3-(x-1)^3 : V_{x-1} \in \mathbb N \qquad \sum_x^b{6i}\in \mathbb N \qquad \e(6.2)$$

Из (6.1) видно, что $\sum_x^b{6i}$ всегда натуральная. Однако, из этого не следует, что она равна кубу натурального основания $(x-1)$, поэтому этот куб обозначим как $(x_r-1)^3\qquad x_r \in \mathbb R$. Итак получено натуральное $(x_r-1)^3$ при $x_r \in \mathbb R$. Далее наделяя $a$ разными свойствами продолжим анализ....

[uxamat]

lasta в сообщении #1107086 писал(а):

$$f^3=(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)\qquad \e(10)$$

Формула (10) не является равенством. Трехчлен $(a+b-c)$ не делится на двучлены:
$(a+b), (c-a), (c-b)$ без остатка. Да еще и на $3$ он должен делиться.

[lasta]

uxamat в сообщении #1108297 писал(а):

Формула (10) не является равенством.

Уважаемый uxamat! Это известное равенство, справедливое для всех решений Уравнения Ферма $x^3+y^3-z^3=0$. Указанный трехчлен делится на основания кубов правой части (10).

[uxamat]

lasta в сообщении #1108329 писал(а):

uxamat в сообщении #1108297 писал(а):

Формула (10) не является равенством.

Уважаемый uxamat! Это известное равенство, справедливое для всех решений Уравнения Ферма $x^3+y^3-z^3=0$. Указанный трехчлен делится на основания кубов правой части (10).

Уважаемый(ая) lasta,
что трехчлен $x^3+y^3-z^3=0$ делится на двучлены в левой чисти формулы (10), надо доказать.
В формуле (10) не трехчлен $x^3+y^3-z^3=0$, а трином:
$(a+b-c)^3$.
Формулу (10) можно записать так:
$[(a+b)-c][a-(c-b)][b-(c-a)] = (a+b)(c-a)(c-b)$
Отсюда видно, что ни один из трехчленов в квадратных скобках не делится без остатка на все без исключения двучлены в правой части этой формулы.
Трехчлен $(a+b-c)$ если числа взаимно простые, четное число. Один из двучленов $(c-a)$ или $(c-b)$ четное число. Трехчлен $(a+b-c)$ при определенном подборе чисел может делиться на четный двучлен или сокращаться на $2$.

[lasta]

uxamat в сообщении #1108466 писал(а):

В формуле (10) не трехчлен $x^3+y^3-z^3=0$, а трином:
$(a+b-c)^3$.

Уважаемый uxamat!
Я написал "Указанный трехчлен", имея в виду, - указанный Вами трехчлен, а не Уравнение Ферма. Все остальное остается в силе.
Разъясняю, что в правой части (10) три взаимно простых куба. Один из них делится на 3. пусть $3(a+b)=(3c_1)^3$. И, учитывая, что числа $a=a_1a_2,\quad b=b_1b_2,\quad c=3c_1c_2$ - составные. То, согласно

$$((a+b)-c)=(a-(c-b))=(b-(c-a))$$

имеем

$$(a+b-c)=(9c_1^3-3c_1c_2)=(a_1a_2-a_1^3)=(b_1b_2-b_1^3) = 3c_1 b_1a_1$$

И упомянутый Вами трехчлен делится на все основания кубов. А куб этого трехчлена делится на все кубы правой части (10).

[lasta]

Последовательность слагаемых вторых разностей кубов (6.1) составлена из двух сумм, заключенных в квадратные скобки. Первая сумма может быть любой разностью соседних кубов в интервале {${(1^3-0^3),\quad (b^3-(b-1)^3)}$}. Вторая является суммой арифметической прогрессии, представленной остальными слагаемыми последовательности (6.1). Следует отметить, что первая сумма не является прогрессией, так как первое слагаемое этой суммы $W_0=1$.
При натуральном $b$, в действительных числах всегда найдется такое, что будет выполняться равенство $a^3=(b+1)^3-b^3$. То есть

$$b\in \mathbb N \Rightarrow \exists a\in\mathbb R : a^3=(b+1)^3-b^3, a^3 \in \mathbb N \qquad \e(11)$$

При этом $a^3$ больше составного числа $3b(b+1)$. Которое в свою очередь больше другого составного числа $3(b + x)(b+1-x)$
Далее убираем неопределенность о принадлежности $a$ к натуральным числам. Пусть $a\in \mathbb N$. Тогда, куб, он же и разность соседних кубов, с учетом (6)

$$a^3=V_b=(b+1)^3-b^3=V_{a-1}+ \sum_a^b{6i}=a^3-(a-1)^3+\sum_a^b{6i}\qquad \e(12)$$

Откуда

$$\sum_a^b{6i}=(a-1)^3\qquad \e(13)$$

Или

$$(a-1)^3=3(a+b)(b+1-a)\qquad \e(14)$$

Итак, при натуральном $a$ последовательность (6) разбивается на две суммы, отмеченные квадратными скобками

$$a^3=V_b=[1+6\cdot1+6\cdot2+…+6(a-1)]\quad +\quad [ 6a+…+6b].\qquad \e(15)$$

По первой сумме делаем вывод, что существует любые $a$ разностей соседних степеней от $1\text {до} \quad V_{a-1} $, причем $a-1$ является составным числом. По второй сумме - вывод аналогичный по существованию кубов. То есть существуют любые кубы от 1 до $(a-1)^3 $ с натуральным основанием. При этом $a-1$ - составное число. Следовательно, существует такой куб, для которого всегда найдется соседняя разность кубов, в сумме с которой образуется новый куб меньше $a^3$, но со всеми его свойствами, а именно, количество слагаемых первой суммы будет больше составного числа. Существование нового куба меньше $a^3$ противоречит принципу единственности минимального решения. Следовательно, ВТФ верна для соседних кубов. А так как при доказательстве были использованы только общие свойства всех степеней, то и доказательство справедливо для всех степеней. (Я, Примысский Валерий Анатольевич, совершил эту попытку (как мог) отстоять честь мундира Ферма, то есть найти простое доказательство в рамках логики Ферма, созданным им методом бесконечного спуска. Ферма был юристом, которые отличаются совершенством изложения утверждений. В чем сильно хромает мой стиль. Поэтому приношу извинения за сложность понимания текста. В ближйшее время постараюсь объединить разрозненный сообщениями текст и значительно упростить его ).

[uxamat]

lasta в сообщении #1108502 писал(а):

Разъясняю, что в правой части (10) три взаимно простых куба. Один из них делится на 3. пусть $3(a+b)=(3c_1)^3$. И, учитывая, что числа $a=a_1a_2,\quad b=b_1b_2,\quad c=3c_1c_2$ - составные.

Уважаемый lasta,
на основании каких математических выкладок Вы решили, что в правой части формулы (10) три куба? На основании чего Вы решили, что числа $a, b$ всегда составные, и выполняется равенство:
$c=3c_1c_2$? (1a)
И если в соответствии с Вашим допущением выполняется равенство $3(a+b)=(3c_1)^3$, то отсюда следует, что:
$a+b=3^2c_1^3$. (2a)
А это точно не куб двучлена $(a+b)$.
Разделив, например, трехчлен $[(a+b)-c]$ на двучлен $(a+b)$, получим:
$1-\frac{c}{a+b}$ - дробное число.
Вот такая непонятка.

[vasili]

Уважаемый uxamat! Если существуют такие натуральные числа a,b и c , что $a^3 + b^3 -c^3 = 0\engo(1)$, то справедливы Формулы Абеля, а именно:

если $(c,3)=3$ (вариант 2 случая ВТФ),

то $a + b = c_1^3/3$, и $3c_2^3 = a^2 + ab + b^2$, где $c = c_1c_2$,

если $b = b_1b_2$ и $a =a_1a_2$, то

$c -a= b_1^3$ и $b_2^3 = c^2 +ca + a^2$,

$c -b= a_1^3$ и $a_2^3 = c^2 +cb + b^2$.

В случае соседних кубов один из делителей $b_1$ или $a_1$ равен 1.

$(a +b-c)^3 =3(a+b)(c -b)(c-a)$- равенство справедливо только для 2 случая ВТФ при условии справедливости (1).

[uxamat]

vasili в сообщении #1108661 писал(а):

$(a +b-c)^3 =3(a+b)(c -b)(c-a)$- равенство справедливо только для 2 случая ВТФ при условии справедливости (1)

Уважаемый vasili,
поступим проще, запишем:
$(a +b-c)^3 =[(a+b)-c]^3=(a+b)^3-3(a+b)^2c+3(a+b)c^2-c^3$ (4а)
Разделив правую часть формулы (4а) на двучлен $(a+b)$, получим:
$(a+b)^2-3(a+b)c+3c^2-\frac{c^3}{a+b}$ (5а)
Как видите, деление без остатка не получается.
Аналогичный результат получим и при делении на два другие двучлена.
При этом алгебраическое выражение (5а) надо еще делить на два других двучлена и получить при этом числа $3$.
Поэтому:
$(a +b-c)^3 \ne3(a+b)(c -b)(c-a)$

[vasili]

$(a+b)^2-3(a+b)c+3c^2-\frac{c^3}{a+b}$ (5а)
Уважаемый uxamat!
Повторяю
$c = c_1c_2$, тогда $c^3 = c_1^3c_2^3$, а по Абелю будет $a + b = c_1^3/3$, тогда

$\frac{c^3}{c_1^3/3} = \frac{c_1^3c_2^3}{c_1^3/3} =3c_2^3$ - целое число.