Вычислить Интеграл

[integral2009]

Есть проблема с интегралом. Берущийся ли он вообще?

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{(2+e^{\frac{2}{\tg x}})\cos^2x}$

Первая мысль $t=\tg x$

$\displaystyle\int\dfrac{dt}{2+e^{\frac{2}{t}}}$

Вторая замена $y=2+e^{\frac{2}{t}}$, тогда $\dfrac{2}{t}=\ln(y-2)$, $t=\dfrac{2}{\ln(y-2)}$, $dt=....$ (ничего толкового).

Можете подсказать идею?

[gris]

Интересно, что
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{(2+e^{\frac{2}{\tg x}})\sin^2x}$
вроде бы берётся. Нельзя ли как-нибудь притянуть? Или так незаметненько перед тангенсом поставить "с" (Ну если это учебная задача).

[e.mazhnik]

integral2009 в сообщении #1106976 писал(а):

Первая мысль $t=\tg x$

$\displaystyle\int\dfrac{dt}{2+e^{\frac{2}{t}}}$

Хорошо известно, что интеграл $\displaystyle\int\dfrac{dt}{e^{\frac{1}{t}}}$ не выражается в элементарных функциях. Так что и Ваш интеграл $\displaystyle\int\dfrac{dt}{2 + e^{\frac{2}{t}}}$ наверняка в них не выражается. При желании, конечно, можно попробовать доказать это строго используя теорему Луивилля.

gris в сообщении #1106979 писал(а):

Интересно, что
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{(2+e^{\frac{2}{\tg x}})\sin^2x}$
вроде бы берётся.

Да, этот берется. Но тут другая степень в экспоненте после замены и никак не притянешь.