Шесть загадочных чисел

[Ktina]

Существуют ли такие натуральные числа

$$n_1< n_2< n_3< n_4< n_5< n_6$$

, что ровно для двух различных простых чисел $p$ все числа

$$n_1+p,\quad n_2+p,\quad n_3+p,\quad n_4+p,\quad n_5+p,\quad n_6+p$$

простые?

[gris]

Очень интересная задача. Мне представляется последовательность расстояний между простыми числами: $1,2,2,4,2,4,2,...$. И в этой последовательности надо отыскивать повторяющиеся кусочки. Например, $<2>$ задаёт числа-близнецы. А $<4>$ задаёт пары $(3,7);(7,11)$. Ведь Вы хотите не только последовательные простяшки, но вообще любые. То есть надо искать повторы с учётом суммирования непрерывных кусков.
Надо знать, как устроена последовательность расстояний. Мне кажется, что хотя, например, $<2>$ там встречается бесконечное (?) количество раз, но<2,2> только один раз. А $<2,4>? В общем, интересно. Но пока дальше никак
Другое видение: Пусть натуральные числа расположены в ряду одинаковых белых клеточек. Клеточки, соответствующие простым числам, покрасим в красный цвет. Назовём массив $<a_1,...,a_n>$ Ксюшиными граблями. Нужно прикладывать грабли к клеточкам, так чтобы все зубцы попадали на красные. Сколькими способами можно это сделать для конкретных граблей? Мне кажется, что грабли, начинающиеся с нечётного числа, можно приложить или один раз, или ни одного. А вот с граблями из чётных чисел мне не понятно. Либо они прикладываются ровно один раз, например, $<2,4>\to (3,5,7)$, либо много раз (гипотеза — бесконечное число раз): $<2>\to (3,5);(5,7),(11,13)$. Граблей второго порядка, которые можно приложить ровно два раза, мне не попалось.

[DeBill]

Пусть наши $n_i$ равны 4,10,16,34,40,64 (их остатки при делении на 7 равны 4,3,2,6,5,1, т.е., все, кроме 0).
При $p=3$ будет:
7,13,19,37,43,67.
При $p=7$ будет :
11,17,23,41,47,71.
При $p=5$ не будет.
При прочих : оно- прочее - не делится на 7, так что будет облом...
Итого: да, существует, и может быть изготовлено с помощью граблей gris -а, имеющих частые зубцы, но дважды приложимые в начале списка простых

[gris]

Неугомонно продолжу тему граблей. Мне кажется не очень хорошо, что мы ищем семёрку простых, а задаём шестёрку чисел. Я бы начинал с нуля.
То есть $(0,2)\to (3,5);(5,7);...$

$(0,2,4)\to (3,5,7).$

$(0,2,6)\to (5,7,11);(11,13,17);(17,19,23);?$

Ну и, конечно, $(0,4,10,16,34,40,64)\to (3,7,13,19,37,43,67);(7,11,17,23,41,47,71).$ DeBill блистательно поставил точку.

Вообще, многие задачи ТС провоцируют интересные исследования и обобщения.

[Ktina]

Мой ответ:
2, 8, 14, 26, 38, 56
Этот набор подходит лля простых 3 и 5.