Число Пи

[MestnyBomzh]

Читал, что в числе Пи можно встретить рано или поздно любую конечную последовательность цифр.
Не могу понять, как это доказать.
Думал доказать как-то так: пусть надо встретить последовательность цифр $a_1...a_n$. От противного: пусть она не встречается в числе Пи. Тогда, так как число знаков у пи бесконечно, а количество последовательностей из цифр длины $n$ конечно, то рано или поздно они начнут повторяться. Отсюда как-то должен идти переход к рациональности числа пи, а отсюда и противоречие. Вот только они могут хаотично повторяться, так что никакой рациональности тут по-прежнему не будет

[quartermind]

А никто и не знает, как это доказать, и верно ли это вообще. Как и для многих других известных иррациональных констант. Почитайте про нормальные числа, это как раз и есть те, которые содержат все конечные последовательности.

[iou]

Это, кажется, открытая проблема..

[svv]

MestnyBomzh в сообщении #1106442 писал(а):

Читал, что в числе Пи можно встретить рано или поздно любую конечную последовательность цифр.

Если Вас удивляет сама возможность того, что хоть в каком-то числе могут быть заключены любые конечные последовательности, тогда вот. Тут это очевидно.

[Eimrine]

MestnyBomzh в сообщении #1106442 писал(а):

пусть надо встретить последовательность цифр $a_1...a_n$. От противного: пусть она не встречается в числе Пи.

Так, как число знаков у $\pi$ бесконечно, а у $a_1...a_n$ конечно, то рано или поздно она встретится $\pi$ (а потом опять и опять). Например, поищем "001" в двоичном представлении $\pi$:

11.001001000011111101101010100010001000010110100011

[NSKuber]

Eimrine
Замечательно! Теперь найдите мне, пожалуйста, последовательность "0010" в числе 0,10101010101...
Или в 0,100111000011111000000...

[atlakatl]

Доказано, что абсолютно нормальных чисел большинство: лебегова мера 1.
Но ни одного из них не известно.
Но доказано, что его можно вычислить.
Но алгоритма вычисления никто не знает.

[Eimrine]

NSKuber в сообщении #1106469 писал(а):

Eimrine
Замечательно! Теперь найдите мне, пожалуйста, последовательность "0010" в числе 0,10101010101...
Или в 0,100111000011111000000...

Ваши две последовательности и близко не похожи на случайные биты, они не будут выглядеть как это:

[arseniiv]

Eimrine в сообщении #1106481 писал(а):

Ваши две последовательности и близко не похожи на случайные биты

Что ж, возьмите тогда «случайные биты» и позаменяйте в них нужную строку какими-нибудь другими так, чтобы на границах не появились новые вхождения этой строки; чем больше строка, тем больше будет доступных вариантов. Получатся не намного менее «случайные», но по построению не содержащие той строки.

[Mihr]

(Оффтоп)

К слову, сегодня, 14 марта, - День числа Пи. Всех с праздником!

[NSKuber]

Eimrine
Ну вот же Ваше доказательство!

Eimrine в сообщении #1106465 писал(а):

Так, как число знаков у $\pi$ бесконечно, а у $a_1...a_n$ конечно, то рано или поздно она встретится $\pi$ (а потом опять и опять).

У двух моих чисел тоже бесконечное число знаков, подпоследовательность "0010" состоит всего их четырёх символов, значит, она должна в них найтись.
Или Вы чего-то недоговорили? Поточней тогда расскажите доказательство, какие определения Вы использовали и т.д.

[ET]

Eimrine в сообщении #1106481 писал(а):

Ваши две последовательности и близко не похожи на случайные биты, они не будут выглядеть как это:

А чем число $\pi$ похоже на случайное? Тоже близко не случайное

[Someone]

atlakatl в сообщении #1106472 писал(а):

Доказано, что абсолютно нормальных чисел большинство: лебегова мера 1.
Но ни одного из них не известно.
Но доказано, что его можно вычислить.
Но алгоритма вычисления никто не знает.

Да ладно Вам, ерунду какую-то придумали. Очень простой алгоритм можно придумать, который будет задавать такое нормальное число.

Eimrine в сообщении #1106481 писал(а):

Ваши две последовательности и близко не похожи на случайные биты

Случайность, с одной стороны, не требуется, а с другой — не гарантирует нормальности. Так что нормальности и случайность — понятия независимые.

[MestnyBomzh]

Открытая проблема... очень жаль, во многих околонаучных статьях этот факт пишется, как "ученые доказали"

[Aritaborian]

Someone в сообщении #1106563 писал(а):

Очень простой алгоритм можно придумать, который будет задавать такое нормальное число.

Weisstein пишет:

Wolfram Mathworld писал(а):

The first specific construction of an absolutely normal number was by Sierpiński (1917), with another method presented by Schmidt (1962). These results were both obtained by complex constructive devices (Stoneham 1970), and are by no means easy to construct (Stoneham 1970, Sierpiński and Schinzel 1988).

Любопытно было бы услышать подробности насчёт простого алгоритма.

-- 14.03.2016, 16:04 --

MestnyBomzh в сообщении #1106564 писал(а):

во многих околонаучных статьях этот факт пишется, как "ученые доказали"

А вы не читайте советских газет околонаучных статей.