2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение13.03.2016, 16:44 


13/03/16
3
Ребят подкиньте идею доказательства, пусть A и B топологии на некотором множестве X, как доказать что их объединение (пересечение) будет топологией? Да и если не сложно, подскажите литературу в которой бы разбирались задачи по топологии, примеры решений и доказательства

 Профиль  
                  
 
 Re: как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение13.03.2016, 17:00 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А что называется топологией? Найдите, что получается в результате пересечения (объединения) и проверьте, что оно удовлетворяет нужным условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение13.03.2016, 17:13 


13/03/16
3
при пересечении, все аксиомы выполняются, а вот объединение пока не могу понять

 Профиль  
                  
 
 Re: как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение13.03.2016, 17:19 
Аватара пользователя


08/03/16
45
Москва
Ice..RaiN
Лучший вариант для начала -- "Элементарная топология" (Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов): http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-index.html.

-- 13.03.2016, 17:28 --

Теперь на счёт вопроса.

Пересечение топологий действительно является топологией (тривиальное следствие аксиом), а вот объединение, вообще говоря, нет.

Рассмотрим множество $X=\{1,2,3\}$ и две топологии на нём: $T_1=\{\varnothing, \{1\},X\}$ и $T_2=\{\varnothing, \{2\},X\}$. Тогда $T_1\cup T_2$ не является топологией на $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение14.03.2016, 15:43 


13/03/16
3
oskar_808 в сообщении #1106336 писал(а):
Ice..RaiN
Лучший вариант для начала -- "Элементарная топология" (Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов): http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-index.html.

-- 13.03.2016, 17:28 --

Теперь на счёт вопроса.

Пересечение топологий действительно является топологией (тривиальное следствие аксиом), а вот объединение, вообще говоря, нет.

Рассмотрим множество $X=\{1,2,3\}$ и две топологии на нём: $T_1=\{\varnothing, \{1\},X\}$ и $T_2=\{\varnothing, \{2\},X\}$. Тогда $T_1\cup T_2$ не является топологией на $X$.


Спасибо за пример! Тут сразу такой вопрос, к примеру у нас есть три топологии $T_1,T_2,T_3$ на некотором множестве X, будет ли топологией семейство $(T_1 \bigcap T_3) \bigcup (T_2 \bigcap T_3)$. Обе скобки являются топологиями, причем в первой скобке будут те множества $T_3$ которые есть в $T_1$ (в самом худшем случае это будет только пустое и все множество), а во второй скобке будут те множества $T_3$ которые есть в $T_2$ . Получается при объединении этих скобок будут только множества $T_3$ могут как все множества из $T_3$ или тривиальная топология либо какое то определенное количество. Так получается это семейство является топологией??

 Профиль  
                  
 
 Re: как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение14.03.2016, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Ice..RaiN в сообщении #1106566 писал(а):
будет ли топологией семейство $(T_1 \bigcap T_3) \bigcup (T_2 \bigcap T_3)$.
Нет, не будет. Контрпример придумайте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение14.03.2016, 16:20 
Аватара пользователя


08/03/16
45
Москва
Ice..RaiN
Вообще говоря, нет. Согласно дистрибутивности объединения-пересечения множеств, имеем $(T_1\cap T_3)\cup(T_2\cap T_3)=(T_1\cup T_2)\cap T_3$. Теперь если взять в качестве $T_3$ дискретную топологию, получаем $(T_1\cup T_2)\cap T_3=T_1\cup T_2$, таким образом сводя задачу к приведённому мной примеру для объединения.

Цитата:
"Найдите, что получается в результате пересечения (объединения) и проверьте, что оно удовлетворяет нужным условиям."
"Нет, не будет. Контрпример придумайте сами."

Я так смотрю, тут все такие крутые топологи - Филдсовские лауреаты, им не до того, чтобы объяснять кому-то решения задачек.

 Профиль  
                  
 
 Re: как доказать что объединение топологий это топология
Сообщение14.03.2016, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
oskar_808
Правила форума прямо запрещают публиковать полные решения учебных задач. Можно лишь подсказывать, в каком направлении думать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group