Сумма подпространств

[Neon]

Всем привет!

Есть задача.
Пусть есть линейное нормированное пространство $E$ и $L_{1}, L_{2}$ его подпространства (замкнутые), причем $L_{1}$ конечномерно.
Вопрос: как доказать, что сумма $L_{1}+L_{2}$ будет подпространством?

Проблема в том, как доказать замкнутость суммы $L_{1}+L_{2}$.
Очевидно, что достаточно доказать, что замкнутость имеет место в самом простом случае, когда $L_{1}$ имеет размерность $1$.

Моя идея была следующая.
Пусть $x$ элемент $E$, $x_{n}$ последовательность из $L_{1}+L_{2}$, что сходится к $x$.
Пусть $x_{n} = a_{n} f + y_{n}$, где $a_{n}$ скаляр, $f$ единственный элемент базиса $L_{1}$, $y_{n}$ элемент $L_{2}$.
(Не трудно показать, что для каждого $x_{n}$ это разложение единственно).
Было бы отлично показать, что тогда множество всех $a_{n}$ ограничено.
Тогда можно сказать, что $a$ принадлежит замкнутому шару (компакту) и с компактности дальше можно будет вытянуть всё, что нужно.

[DeBill]

Neon
$L_1$ замкнуто, а $f$ не лежит в нем. Значит, и некоторый шарик с центром в $f$ - тоже. Значит, расстояние от $f$ до любой точки из $L_1$ больше радиуса $r$ шарика. Но тогда $\left\lVert x_n \right\rVert \geqslant $r $\cdot$ $\left\lvert a_n\right\rvert$ (ибо это и есть расстояние от $a_n f$ до $-y_n$)

[Neon]

Спасибо!