В половине переменных минус, отвечающий за направление, стоит снаружи, в другой половине переменных минус скрыт внутри переменной.
Разумеется, все хотят не слишком много «минусов» в формулах. Знак величины (как числа) и знак при ней в выражении зависят от её определения. Определение — начало начал. Так почему не выбрать такие определения, чтобы было поменьше минусов? Мы и пытаемся. Но:
1) При любом определении эта же физическая величина в другой ситуации может стать отрицательной.
2) При любом определении эта физическая величина может войти со знаком минус в выражение для другой величины.
Итак, начинаем с выяснения использованных определений. (Да, они могут отличаться знаком не только у разных авторов, но и у одного и того же, в разных вычислениях.)
Что такое

? Если отвлечься от «бесконечно-малости», то же, что и

. Дельта — это разница между конечным и начальным значением величины. Пусть тело переместилось из точки 1 с координатой

в точку 2 с координатой

. Тогда по определению

. Если ось

направлена вверх и

(тело поднимается), то

. Если

(тело опускается), то

. Изменение потенциальной энергии при перемещении в поле тяжести будет

, независимо от знака

. А вот работа силы тяжести при перемещении тела будет

, тоже независимо от знака

. Иными словами, знак изменения потенциальной энергии тот же, что знак изменения высоты (оба могут быть положительные и отрицательные). А знак работы противоположен знаку изменения высоты.
Что такое

? Это абсолютная величина ускорения свободного падения, и потому положительное число. Можно было бы считать, что

— это проекция вектора

на ось

, тогда бы оно было отрицательным. Это принесло бы в каких-то случаях выгоды, в других неудобства. Для нас важно только то, что Фейнман так не делает.