Хаотичное поведение динамической системы

[ellipse]

Рассматривается функция $f$, которая порождает динамическую систему (можно задать формулой, но понятнее на рисунке).



Покажем, что репеллентом такой системы является канторово множество $C$.

Пусть функция $S(E)$ по множеству $E$ дает его полный прообраз. Например, $S([0;1])=[0;1/3]\cup [2/3;1]$.

Множество $C=\bigcap_{k=1}^{\infty}S^k([0;1])$ инвариантно относительно $f$. Действительно, $f(C) = f\left( \bigcap_{k=1}^{\infty}S^k([0;1]) \right) \subseteq \bigcap_{k=1}^{\infty}f(S^k([0;1])) = \bigcap_{k=0}^{\infty}S^k([0;1]) \subseteq C$, где $S^{0}([0;1])=[0;1]$.

Множество $C$ является отталкивающим, то есть, если $x\notin C$, то $f^{k}(x)\to \infty$. Действительно, если $x\notin C$, то $x \notin S^m([0;1]) $ при некотором $m$. Но тогда $f^m(x) \notin [0;1]$. А последующие итерации, очевидно, уводят в бесконечность.

Таким образом, $C$ - репеллент.

По сути функция $f$ первую и третью треть канторова множества отображает на все кантрово множество. Правда третью треть еще и переворачивает.

Если записать точки множества $C$ в троичной системе с отождествлением последней единицы с бесконечной последовательностью 2ек, то действие функции $f$ сводится к сдвигу троичной запись влево, причем все разряды инвертируются, если первая цифра после запятой была 2.

Теперь нужно исследовать поведение системы и доказать, что поведение системы хаотичное. Но я на лекции не совсем понял определение хаотичного поведения.

Было предложено доказать утверждение, что, если $\nu$ иррациональное число из множества $C$, то его орбита $\{f^k(\nu)\}$ всюду плотна в $C$.

Мне кажется, это неверно. Например, если $\nu$ не является нормальным числом.

Но какие свойства верны? Может нужно оценить меру множества точек, орбиты которых всюду плотны?

[demolishka]

Определений хаоса несколько. Например, есть понятие хаоса по Девани, а есть понятие хаоса по Ли-Йорку. Так что разберитесь в начале, наличие какого хаоса Вы будете доказывать.

[DeBill]

ellipse в сообщении #1105890 писал(а):

Таким образом, $C$ - репеллент.

Это круто! Я так и представляю: испуганные орбиты шарахаются от ужасного репеллента, и убегают на бесконечность...
(может, это репеллер?)
1. Ваше отображение похоже на классические объекты: подкову Смейла (у которой "забыта" одна координата), и на преобразование пекаря (если точки из Кантора, после замены двоек на единички, отождествить с двоичными числами).
Так что, возможно, где-то там можно и найти полное описание Вашей динамики.

ellipse в сообщении #1105890 писал(а):

поведение системы хаотичное.

А какое у вас было определение? Обычно требуют две вещи: а) наличие плотных орбит б) плотность периодических точек. А что у вас?
2.

ellipse в сообщении #1105890 писал(а):

Мне кажется, это неверно. Например, если $\nu$ не является нормальным числом
.

Мне кажется, что вам правильно кажется. Но зато, видимо, орбита всякого нормального уже будет плотна.
3. Но вам, видимо, достаточно предъявить хотя бы одну точку с плотной орбитой. Ну так и постройте ее - задав ее конкретно.
4. А еще надо разобраться с периодическими точками. И опять же: от вас не требуется полного описания всех периодических: достаточно предъявить их в достаточном количестве, чтобы обеспечить плотность.
5. А вот про меру - это не очень хорошо: ведь мера $C$ равна 0. Или вы хотите построить какую то меру с носителем на $C$ ?

[demolishka]

Неужели на лекциях не было примера с логистическим отображением и сопряжением со сдвигом Бернулли? Здесь все ровно аналогично.

[scwec]

DeBill в сообщении #1106121 писал(а):

возможно, где-то там можно и найти полное описание Вашей динамики

Это где-то, например, Р.М.Кроновер "Фракталы и Хаос в динамических системах" 1999г. стр.169-184. Подробное описание Вашего примера.