Разложить функцию в ряд Маклорена

[Charlz_Klug]

Пожалуйста, проверьте правильность решения.

Разложить функцию по формуле Маклорена $3$-го порядка с остаточным членом в форме Пеано: $y = x \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2}$.

Решение:
$y' = \arccos{x} - \frac {1 x} {\sqrt{1 - x^2}} - (\frac{1} {2} \frac {1} {\sqrt {1 - x^2}} (-2x)) = \arccos {x} - \frac {x} {\sqrt {1 - x^2}} - (- \frac {x} {\sqrt {1 - x^2}}) = \arccos {x} - \frac {x} {\sqrt {1 - x^2}} + \frac {x} {\sqrt {1 - x^2}} = \arccos {x}$.

$y'' = - \frac {1} {\sqrt {1 - x^2}}$.

$y''' = - ( - \frac {1} {2}) \frac {1} {\sqrt {(1 - x^2)^3}} (- 2x) = - \frac {x} {\sqrt {(1 - x^2)^3}}$.

$y(0) = 0 \arccos {0} - \sqrt {1 - 0^2} = 0 - \sqrt {1} = -1$.

$y'(0) = \arccos {0} = \frac {\pi} {2}$.

$y''(0) = - \frac {1} {\sqrt {1 - 0^2}} = - \frac {1} {\sqrt {1}} = -1$.

$y''' (0) = - \frac {0} {\sqrt {(1 - 0^2)^3}} = 0$.

$y = x \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} = - 1 + \frac {\pi x} {2} - \frac {x^2}{2!} + \frac {0 x^3} {3!} + o(x^3) = -1 + \frac {\pi x} {2} - \frac {x^2}{2} + o(x^3)$.

[Mihr]

Charlz_Klug,
верно.

[Charlz_Klug]

Mihr в сообщении #1105531 писал(а):

верно.

Очень признателен за проверку!

[mihailm]

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor%28x*arccos%28x%29-sqrt%281-x^2%29,x%29[/url]
Надо где-нить сверху написать: "Прежде чем задавать вопросы, проверьте ответы в калькуляторе, это ГОРАЗДО проще и быстрее, чем писать в латехе ваше сообщение!!!"

[Brukvalub]

mihailm, не кипятитесь! На форуме можно проверить не только ответ, но и ход решения. Например, я бы действовал чуть рациональнее: после второго дифференцирования воспользовался стандартным разложением, а потом бы проинтегрировал.

[mihiv]

Если вспомнить тождество $\arccos x+\arcsin x=\frac {\pi }2$, то функция запишется так:

$$y=\frac {\pi }2x-x\arcsin x-\sqrt {1-x^2}$$

Отсюда видно, что все слагаемые формулы Маклорена с нечетными степенями $x$, кроме первой, равны 0. Поэтому достаточно найти только вторую производную.

[bot]

(Оффтоп)

mihiv в сообщении #1105633 писал(а):

Поэтому достаточно найти только вторую производную.

Хороший способ. А как пропустите первую?

[Brukvalub]

bot , таблица эквивалентностей помогает увидеть, что ненулевую первую степень имеет только первое слагаемое.

[mihiv]

bot в сообщении #1105700 писал(а):

А как пропустите первую?

bot, действительно, без первой производной не обойтись, но зато вторую находить не обязательно.
Обозначим $u=x^2$. тогда с помощью первой производной: $\sqrt {1-u}=1-\frac 12u+O(u^2)=1-\frac 12x^2+O(x^4)$.
Так как $\arcsin x$- нечетная функция, то $\arcsin x=x+O(x^3)$, подставляя эти два разложения в исходную формулу, получим ответ.

[Charlz_Klug]

Спасибо всем откликнувшимся!

[bot]

(Оффтоп)

mihiv в сообщении #1105755 писал(а):

но зато вторую находить не обязательно

То то же.