Предел обратного гомеоморфизма

[ellipse]

Стереографическая проекция $p$ окружности $S$ из точки $z_0=(1;0)$ на ось $Ox$ является гомеоморфизмом. Причем этот гомеоморфизм обладает такими свойствами: $p(z)\to \infty$ при $z\to z_0$ и $p^{-1}(x)\to z_0$ при $x\to \infty$. Следует ли существование одного предела из существования другого? Если да, то как это можно обобщить для произвольных топологических пространств?
Например, пусть $f:X \to Y$ -- гомеоморфизм. Верно ли, что из $\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ следует $\lim_{y\to y_0}f^{-1}(y)=x_0$?

[CptPwnage]

Верно, но только в этом примере это не гомеоморфизм окружности и прямой, а окружности без точки $z_0$ и прямой, прямая сама по себе не гомеоморфна окружности, например из компактности окружности. Утверждение про гомеоморфизм тривиально, просто из того что $f$ И $f^{-1}$ непрерывны. Интереснее спросить, верно ли это для произвольного непрерывного взаимно-однозначного отображения, и ответ нет, это не обязательно гомеоморфизм. Но в случае компактных пространств $X$ И $Y$ это верно, если есть непрерывное взаимно-однозначное отображение, то обратное также непрерыно и ваше утверждение выполняется.

[alcoholist]

ellipse
гомеоморфизм по определению непрерывная биекция с непрерывным обратным

[ellipse]

Не совсем понятно, как определить в топологических терминах аналог предела и как строго провести рассуждение.

Пусть есть два топологических пространства $(X,\mathcal{T}_X)$ и $(Y,\mathcal{T}_Y)$. Пусть $\mathcal{B}_X$ и $\mathcal{B}_Y$ -- какие-то базы в $X$ и $Y$. Тогда предел по базе $\mathcal{B}_X$ можно выразить так: для любого элемента базы $B_Y \in \mathcal{B}_Y$ найдется элемент базы $B_X \in \mathcal{B}_X$ такой, что $f(B_X)\subseteq B_Y$. Как отсюда получить, что для любого элемента базы $B_X \in \mathcal{B}_X$ найдется элемент базы $B_Y \in \mathcal{B}_Y$ такой, что $f^{-1}(B_Y)\subseteq B_X$.