являются ли функции алгебраическими или трансцендентными

[olga_helga]

как определить,является ли ф-ция алгебраической или трансцендентной?.
(к примеру

\[ y = \frac{{x^2 - 1}} {{x^3 + 1}} \]

или

\[ y = \tg 2x \]

).заранее спасибо

[Brukvalub]

Как мне кажется, алгебраическими называют функции, значения которых во всех точках области определения могут быть получены путём применения к аргументу конечного числа алгебраических действий. Поэтому первая функция - алгебраическая, а вторая - нет.

[Someone]

Алгебраическая функция - это функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению:

$$P_0(x)y^n+P_1(x)y^{n-1}+P_2(x)y^{n-2}+\ldots+P_{n-1}(x)y+P_n(x)=0\text{,}$$

где $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\ldots,P_{n-1}(x),P_n(x)$ - многочлены, $P_0(x)\not\equiv 0$.

[RIP]

olga_helga писал(а):

как определить,является ли ф-ция алгебраической или трансцендентной?.

Никаких общих рецептов вроде бы нет. Алгебраичность обычно сразу видно (алгебраические функции образуют алгебраически замкнутое поле (алгебраическое замыкание поля рациональных функций)). С трансцендентностью надо уже чё-нить изобретать. Можно доказывать либо через определение, либо пользоваться некоторыми свойствами алгебраических функций. Например: если $f(z)$ --- непостоянная алгебраическая функция, то для любого $c\in\mathbb C$ уравнение $f(z)=c$ имеет лишь конечное число решений (поэтому $\tg2z$ трансцендентна).

[olga_helga]

а где нить литература есть по етой теме?а то я ниче не поняла из того что сказано,кроме того что общих методов для опредления данных свойств нет.подскажите плиз

[Brukvalub]

Есть вот такие книжки: Чеботарев Н.Г. — Теория алгебраических функций
Шевалле К. — Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной
но я, давая свой Вам ответ, не предполагал, что Вам нужно именно такое формальное понимание алгебраических функций