2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти число попарно неизоморфных модулей
Сообщение07.03.2016, 17:15 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Задача: Сколько существует попарно неизоморфных $k[[x]]$-модулей, размерность которых как векторных пространств над $k$ равна шести?

Мне кажется что такой модуль единственнен с точностью до изоморфизма (других неизоморфных нет), потому что размерность модуля как векторного пространства над кольцом -- это число элементов в базисе этого модуля, а модули, имеющие одинаковое число базисных элементов, изоморфны. Но это неправильный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число попарно неизоморфных модулей
Сообщение07.03.2016, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Hasek в сообщении #1104851 писал(а):
Мне кажется что такой модуль единственнен с точностью до изоморфизма (других неизоморфных нет), потому что размерность модуля как векторного пространства над кольцом -- это число элементов в базисе этого модуля, а модули, имеющие одинаковое число базисных элементов, изоморфны.

Но в условии рассматривается модуль над кольцом формальных степенных рядов, а размерность модуля названа над полем коэффициентов этих рядов, т.е над подкольцом. Так что теорема об изоморфности конечномерных модулей одной размерности здесь напрямую не применима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число попарно неизоморфных модулей
Сообщение07.03.2016, 22:42 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Понятно, что всякий модуль над кольцом является модулем и над подкольцом. При этом его размерность над подкольцом выше, чем над кольцом, потому что в подкольце содержится меньше коэффициентов для линейных комбинаций элементов этого модуля, то есть меньшее число элементов модуля линейно зависимы. Тогда есть всего пять таких модулей? (одномерный, двумерный, трёхмерный, четырёхмерный и пятимерный над $k[[x]]$, которые шестимерны как модули над $k$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число попарно неизоморфных модулей
Сообщение07.03.2016, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Hasek в сообщении #1104944 писал(а):
При этом его размерность над подкольцом выше, чем над кольцом, потому что в подкольце содержится меньше коэффициентов для линейных комбинаций элементов этого модуля, то есть меньшее число элементов модуля линейно зависимы.
Не меньше - это ясно, а почему размерность строго больше? Это нужно дополнительно изучить, общих соображений, на мой взгляд, здесь недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число попарно неизоморфных модулей
Сообщение09.03.2016, 17:48 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Посмотрите Ламбек "Кольца и модули" гл.1 на предмет, чем модули отличаются от векторных пространств. Также можно Атья-Макдональд, гл.1-2. Для модулей нет понятия размерности, есть композиционная длина и несколько понятий ранга. Полезно подумать: каковы идеалы в указанном кольце степеннных рядов? В качестве следствия покажите, что все неприводимые модули над указанным кольцом одномерны над полем (и сколько их, неприводимых, вообще?). Приведите пример двух двумерных над полем модулей, которые над кольцом степенных рядов не изоморфны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group