Найти число попарно неизоморфных модулей

[Hasek]

Задача: Сколько существует попарно неизоморфных $k[[x]]$-модулей, размерность которых как векторных пространств над $k$ равна шести?

Мне кажется что такой модуль единственнен с точностью до изоморфизма (других неизоморфных нет), потому что размерность модуля как векторного пространства над кольцом -- это число элементов в базисе этого модуля, а модули, имеющие одинаковое число базисных элементов, изоморфны. Но это неправильный ответ.

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1104851 писал(а):

Мне кажется что такой модуль единственнен с точностью до изоморфизма (других неизоморфных нет), потому что размерность модуля как векторного пространства над кольцом -- это число элементов в базисе этого модуля, а модули, имеющие одинаковое число базисных элементов, изоморфны.

Но в условии рассматривается модуль над кольцом формальных степенных рядов, а размерность модуля названа над полем коэффициентов этих рядов, т.е над подкольцом. Так что теорема об изоморфности конечномерных модулей одной размерности здесь напрямую не применима.

[Hasek]

Понятно, что всякий модуль над кольцом является модулем и над подкольцом. При этом его размерность над подкольцом выше, чем над кольцом, потому что в подкольце содержится меньше коэффициентов для линейных комбинаций элементов этого модуля, то есть меньшее число элементов модуля линейно зависимы. Тогда есть всего пять таких модулей? (одномерный, двумерный, трёхмерный, четырёхмерный и пятимерный над $k[[x]]$, которые шестимерны как модули над $k$)

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1104944 писал(а):

При этом его размерность над подкольцом выше, чем над кольцом, потому что в подкольце содержится меньше коэффициентов для линейных комбинаций элементов этого модуля, то есть меньшее число элементов модуля линейно зависимы.

Не меньше - это ясно, а почему размерность строго больше? Это нужно дополнительно изучить, общих соображений, на мой взгляд, здесь недостаточно.

[vpb]

Посмотрите Ламбек "Кольца и модули" гл.1 на предмет, чем модули отличаются от векторных пространств. Также можно Атья-Макдональд, гл.1-2. Для модулей нет понятия размерности, есть композиционная длина и несколько понятий ранга. Полезно подумать: каковы идеалы в указанном кольце степеннных рядов? В качестве следствия покажите, что все неприводимые модули над указанным кольцом одномерны над полем (и сколько их, неприводимых, вообще?). Приведите пример двух двумерных над полем модулей, которые над кольцом степенных рядов не изоморфны.