Потенциалы в электрических цепях

[MaksVodov]

Коллеги, помогите разобраться с задачкой :)

Для исследования неизвестного элемента Х, имеющего три вывода, была собрана цепь, схема которой изображена на рисунке. Найдите напряжение $U$ на источнике и показания $I$ идеального амперметра по известным сопротивлениям резисторов $R_{1}$, $R_{2}$ и $R_{3}$ и измеренным относительно точки D ("минуса" источника) потенциалам $\varphi_{1}$ выводов элемента X.


Мой метод решения заключается в следующем:
Изобразим вместо элемента Х эквивалентную схему, состоящую из трёх резисторов в виде треугольника:

Распишем законы Кирхгофа для цепи:
$I_{0}=I+I_{3}$
$I=i_{1}+i_{3}$
$I_{2}=I_{0}+I_{1}$
$I_{1}+i_{1}=i_{2}$
$i_{2}+i_{3}+I_{3}=I_{2}$
$i_{3}r_{3}-i_{2}r_{2}-i_{1}r_{1}=0$
$I_{3}R_{3}-i_{3}r_{3}=0$
$I_{0}r+i_{1}r_{1}+I_{1}R_{1}=U$
$I_{1}R_{1}+i_{2}r_{2}+I_{2}R_{2}=0$
где $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ - сопротивления в треугольнике, эквивалентном элементу Х; $I_{0}$, $U$ и $r$ - ток через ЭДС, напряжение и внутреннее сопротивление ЭДС; $I$ - ток на амперметре; $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ - токи на соответствующих резисторах $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{3}$. 9 уравнений, 12 неизвестных.
Остаётся разобраться с потенциалами, и здесь возникла заминка. Для $\varphi_{1}$ вроде понятно, ток может течь только в сторону минуса ЭДС, и $\varphi_{1}=I_{1}R_{1}$. Правильно ли я понимаю, что $\varphi_{2}=I_{1}R_{1}+i_{2}r_{2}$, или нужно также учитывать стоящие в параллель $R_{2}$ и связку $r_{1}-r_{3}$? И аналогично для $\varphi_{3}$...

[AnatolyBa]

Забавно.
Вы с Anna from Svetl вместе учитесь?

topic106458.html

[MaksVodov]

AnatolyBa спасибо, не увидел топик

[Anna from Svetl]

AnatolyBa, я уже отучилась давно. Задачку ученик принес. Я кстати, тоже сначала про эквивалентную связку думала, но мне показалось, что такая замена никак не обоснована. Я права?

[amon]

Напишите стандартные законы Кирхгофа, считая, что $\varphi_i-\varphi_j$ это ЭДС "псевдобатарейки", включенной в соответствующий контур.

[Munin]

Anna from Svetl в сообщении #1104898 писал(а):

Я кстати, тоже сначала про эквивалентную связку думала, но мне показалось, что такая замена никак не обоснована. Я права?

Поскольку схема рассматривается только при одном сочетании напряжений (и токов), то можно заменить. Вот если они начнут меняться, то элемент $X$ может повести себя нелинейно. (На экспериментальных турах олимпиад любимый вариант такого элемента - биполярный или полевой транзистор; впрочем, вас могут подстерегать и два диода, скажем.)

-- 07.03.2016 21:48:57 --

amon подсказывает, что не совсем. Пусть он выскажется.

[amon]

Если внутри элемента Х есть источники ЭДС, то по-моему, его не получится заменить на три сопротивления. К примеру, токи могут в этом случае течь даже при отсутствии внешних источников. Поэтому "мой" способ кажется надежнее.

[type2b]

Munin правильно говорит: поскольку токи и потенциалы фиксированы, то можно заменить эквивалентной схемой. Но по той же причине это ничего не даст, а только умножит сущности без необходимости. Про Х достаточно знать, что у него нет скрытых проводов, через которые втекает ток.

[amon]

type2b в сообщении #1104936 писал(а):

поскольку токи и потенциалы фиксированы, то можно заменить эквивалентной схемой.

В этом смысле - конечно можно, просто, IMHO, это не эквивалентно тому, что нарисовано в первом посте.

[Munin]

type2b в сообщении #1104936 писал(а):

Munin правильно говорит: поскольку токи и потенциалы фиксированы, то можно заменить эквивалентной схемой.

Можно, но чисто резистивной - только в случае, если мы не попадаем в точку с нулевыми напряжениями или нулевыми токами. В таких случаях могут понадобиться добавочные источники тока или источники напряжения.