Вопрос по действию

[Atmosfera]

Вечер добрый, уважаемые посетители форума!
Помогите разобраться с некоторыми теор вопросами.
Во-первых, с действием для частицы в э/м поле: запишем действие для заряженной частицы S = $S_{part}+S_{int}$, где $S_{part}=-mc\cdot\int\limits_{(1)}^{(2)}ds$ - действие для свободной частицы. Второе слагаемое описывает взаимодействие частицы с полем. Мы знаем про него, что оно должно быть инвариантным, содержать в виде произведения заряд и величину, описывающую поле. Тогда $S_{int}=-\frac{e}{c}\cdot\int\limits_{(1)}^{(2)}A_i (x^0, x^1, x^2, x^3)dx^i$. Ну и дальше мы можем переходить к записи уравнения движения. Мне было предложено посмотреть, как изменится действие при наличии ещё 2-х полей: скалярного поля и тензорного поля. Это можно сделать в виде $S_{scal}=e\cdot\int\limits_{(1)}^{(2)}Fds$ и $S_{tens}=e\cdot\int\limits_{(1)}^{(2)}G^{ik}dx_k$. Но чтобы проинтегрировать это выражение, нужно тензор умножить на какой-то вектор $B_i$. Это же не может быть какой-то произвольный вектор, скорее всего он как-то связан с зарядом, но каким образом не знаю.
И второй вопрос тоже про действие, но уже действие непосредственно электромагнитного поля: $S_{field}=a\int\limits_{}^{}F^{ik}\cdot F_{ik}d^4x$. А будет ли справедлива следующая запись? $S_{field}=a\int\limits_{}^{}(F^{ik}\cdot F_{ik})^2d^4x$. Казалось бы, инвариантность от этого не нарушится, порядок производной тоже, да и не чувствует градиентного преобразования. Остаётся принцип суперпозиции, нарушит ли это возведение в квадрат линейность уравнений поля? На этом и застрял... Прав ли я вообще и в каком направлении двигаться?

[amon]

Действие - истинный скаляр. Какие скаляры можно собрать из $G_{ik},x^i,dx^i,s,ds$? Не забыл ли я кого?

Atmosfera в сообщении #1103715 писал(а):

будет ли справедлива следующая запись? $S_{field}=a\int\limits_{}^{}(F^{ik}\cdot F_{ik})^2d^4x$

Как будет выглядеть уравнение движения в этом случае?

[Munin]

Насколько я понимаю, стандартным является такой подход: записываем $dx^\mu=u^\mu\,ds,$ и потом для любого поля сворачиваем его столько раз с $u^\mu,$ каков его тензорный ранг. По крайней мере, в книгах Фейнмана (ФЛГ, в частности) это делается не мудрствуя лукаво.

Можно изобрести другие выражения, например, $\sqrt{G_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}.$ Тут начинают портиться уравнения движения, как подсказал amon.

Идея в том, что "в малом всё линейно". Мы рассматриваем и поля, и токи в окрестности нуля. И там ищем первый, линейный член взаимодействия. Если у нас выражение получилось меньше чем линейное - значит, в линейном приближении взаимодействия вообще нет. Вряд ли кому-то это будет интересно. Если у нас выражение получилось больше чем линейное - значит, в линейном приближении оно будет "бесконечным", и забьёт собой вклады действия от свободных полей и частиц. Это "неисправная теория" - здесь надо искать другой анзац, другую окрестность и другое приближение. В КТП эта проблема называется "сильной связью" - теория сильной связи не построена, и это доставляет кучу проблем в разных секторах физики, например, в КХД.

А если у нас всё-таки выражение в малом линейно - то можно выбросить заковыристую формулу, и использовать линейную.

Ещё по поводу величины члена взаимодействия. Откуда берётся его величина? Мы берём действия для свободных полей и частиц, и считаем их примерно одного порядка величины. (Если порядки величин сильно разные, то у нас нет единой теории, а "меньшей" теорией можно просто пренебречь, либо она накладывает связи, а её степени свободы не играют роли.) Отсюда возникает нормировка (система единиц) для таких величин, как амплитуды полей. После этого, в члене взаимодействия мы можем "подкручивать" только один числовой коэффициент - заряд $e$ (он же константа связи, coupling constant). [Несколько, если мы берём несколько членов разложения, хотя в слабых полях это не нужно.] Он должен быть таким, чтобы слагаемое взаимодействия было по порядку не больше, чем действия свободных полей и частиц. (Если $S_{free\,field}<S_{int}<S_{free\,particles},$ то степени свободы поля не играют роли и интегрируются - мы получаем теорию типа электростатики.) Именно если он будет больше, чем оба свободных действия, произойдёт вышеупомянутая беда.

[physicsworks]

Здесь еще нужно следить за размерностью полей/констант взаимодействия и перенормируемостью (если предполагается в дальнейшем строить квантовую теорию). Если для удобства пользоваться рациональной гауссовой системой единиц, т.е. системой единиц Лоренца--Хевисайда (ЛЛ2, который вы, судя по индексным обозначениям, читаете, использует нерациональную гауссову систему единиц), в которой $\alpha = e^2/4\pi$, если дополнительно положить $\hbar=c=1$, то $A$ имеет массовую размерность $+1$, а $F_{ik}$ --- размерность $+2$, заряд безразмерен, а Лагранжиан должен иметь размерность $+4$, чтобы после взятия интеграла по $d^4x$, имеющему массовую размерность $-4$, получить действие в виде безразмерного лоренц-скаляра. Поэтому единственный кинетический член, имеющий массовую размерность $+4$ и являющийся скаляром, есть (с точностью до знака, который выбирается так, чтобы получить ограниченную снизу энергию и до коэффициента) $F^{ik}F_{ik}$. Кроме того, можно построить тензор дуальный тензору $F_{ik}$ и получить лагранжиан в виде псевдоскаляра, но этот член можно представить в виде 4-дивергенции, так что он не интересен в КЭД (но так бывает не всегда, в КХД соответствующий $\theta$-член связан с т.н. strong CP problem). Что касается перенормируемости, то общее правило таково: члены в лагранжиане с безразмерными коэффициентами (константами связи) или коэффициентами, имеющими положительную массовую размерность, являются перенормируемыми. Члены с отрицательной массовой размерностью не перенормируемы.

[Munin]

Вообще-то, если из тензоров делать скаляр, размерность автоматически получится удачной. А если не получится - можно считать размерной константу взаимодействия. Как, например, поступили с постоянной тяготения Ньютона.

"Общее правило", которое вы цитируете, относится именно к размерностям констант. Считается, что сам член лагранжиана (с константой) имеет корректную размерность.

[physicsworks]

Munin в сообщении #1103951 писал(а):

Вообще-то, если из тензоров делать скаляр, размерность автоматически получится удачной.

не всегда. Посмотрите на действие, которое ТС предложил в первом сообщении.

Munin в сообщении #1103951 писал(а):

А если не получится - можно считать размерной константу взаимодействия.

в кинетических членах, о которых спрашивал ТС во втором вопросе и которые билинейны, никакой константы взаимодействия нет. В членах взаимодействия (которые содержат три и больше полей), размерность константы связи получается автоматически из того, что лагранжиан должен иметь массовую размерность $+4$.

Munin в сообщении #1103951 писал(а):

"Общее правило", которое вы цитируете, относится именно к размерностям констант

я об этом и написал. Возможно, не следовало бы, чтобы не запутать ТС.

[Munin]

Ну, кинетический член вообще трогать нельзя, иначе весь лагранжев формализм развалится, и будет очень-очень плохо. Не знаю, как, но будет. Это единственное, что я смог понять из умных книжек.