Рациональные точки на гиперэллиптической кривой

[scwec]

Докажите, что уравнение $y^2=x(x-2)(2x-5)(x-3)(3x-10)(x-4)(x-5)$ не имеет рациональных решений при $x>5$.

[scwec]

Пусть исходное уравнение имеет рациональное решение с $y\ne{0}$.
Положим $u=\dfrac{x^2-10}{x^2-6x+10}$.
Тогда $(u^2-1)(9-u^2)=\dfrac{16x(x-2)(2x-5)(x-3)(3x-10)(x-4)(x-5)}{(x^2-6x+10)^4}$
и, сл-но, уравнение $(u^2-1)(9-u^2)=w^2$, где $w=\dfrac{4y}{(x^2-6x+10)^2}$ имеет рациональное решение с $w\ne{0}$.
Но это уравнение имеет рациональные решения $u=\pm{1},\pm{3},w=0$ и других нет, что рассматривалось на форуме здесь
http://dxdy.ru/topic62475-15.html
Полученное противоречие доказывает исходное утверждение.
Нужный результат получается точно так же и с помощью замены $u=\dfrac{3x^2-20x+30}{x^2-6x+10}$