Вопрос по доказательству

[student1138]

Добрый день.

Задача: показать что $(AB)^*=B^*A^*$. Здесь $*$ обозначает взаимную (союзную, присоединенную) матрицу.

Для случая когда эти матрицы невырожденны доказал, используя следующие факты:

• $A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}A^*$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• $\det{AB}=\det{A}\det{B}$

Само доказательство несложно:

$ \frac{1}{\det{AB}}(AB)^*=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{\det{B}}B^* \frac{1}{\det{A}}A^*= \frac{1}{\det{AB}}B^*A^* $

Сокращаем $\frac{1}{\det{AB}}$, получаем искомое равенство: $(AB)^*=B^*A^*$

Еще аналогичными рассуждениями доказывается равенство $(A^*)^*=(\det{A})^{n-2}A$

А вопрос такой: действительно ли это доказательство для случая вырожденных матриц? Или нужно этот случай доказывать отдельно?

Добавлю почему возник вопрос. На ум приходит история открытия комплексных чисел. Когда в процессе выкладок допустили что корень из отрицательных чисел существует, после чего подобные корни сократились и получилось правильное решение кубического уравнения. Вот думаю может и в данном случае такая логика допустима, ведь обратные матрицы и деление на определитель используются только промежуточно.

В общем объясните, допустима ли такая логика или нет и почему.

[Xaositect]

Да, такая логика допустима, но ее необходимо обосновать.

Самый простой способ обосновать - это использовать тот факт, что любая вырожденная матрица является пределом некоторой последовательности невырожденных, поэтому любое равенство непрерывных функций от элементов матрицы, которое верно на невырожденных матрицах, верно и на вырожденных.