2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 15:07 


04/07/15
149
Здравсвуйте .Никак самому не получается сдвинуться дальше.
$ 2\cdot\ \left\langle \sqrt{\log_a(ab)^\frac{1}{4}+\log_b(ab)^\frac{1}{4}}-\sqrt{\log_a(\frac{b}{a})^\frac{1}{4}+\log_b(\frac{b}{a})^\frac{1}{4}} \right\rangle \cdot \sqrt{\log_ab}= \begin{cases}
2,&\text{если $b\geqslant a>1$;}\\
2\log_ab,&\text{если $1<b<a$;}\\ \end{cases}$$$

Смог упростить левую часть
$ \sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1} $
Далее рассматриваю два случая.
1) $\sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}=2
$
2)$\sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}=2\log_ab
$
Возвожу в квадрат обе части и получается
1)$ 2\log^{2}_ab+2\log_ab-3-2\cdot\sqrt{(\log^{2}_ab+2\log_ab+2)\cdot(\log^{2}_ab-1)} = 0$
2)$ -2\log^{2}_ab+2\log_ab+1-2\cdot\sqrt{(\log^{2}_ab+2\log_ab+2)\cdot(\log^{2}_ab-1)} = 0$
Упростить дальше у меня не получается,так как вылезает $\log^{4}_ab$ и корни с "корнями".

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 15:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Зачем Вы это? Приводите к одинаковым основаниям и выделяйте полные квадраты. Что-то у Вас с этим не так.
Вот это
Orkimed в сообщении #1102539 писал(а):
$ \sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1} $

откуда взялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 16:09 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Orkimed
1. У Вас - арифметическая ошибка: вместо одного 2 должно быть не 2...
2. Лучше не возводить в квадрат, а извлекать корни - проще будет. Только надо помнить, что $\sqrt{x^2} = \left\lvert x \right\rvert$, а не $x$ .
3. Ваше тождество - неверно: в условии, видимо, под вторым корнем должен быть
"-", а не "+".

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 16:13 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
DeBill в сообщении #1102565 писал(а):
"-", а не "+".

Угу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Мне понравился первый ход. Он естественен, но сделан с ошибками. Опять же, по ответу видно, что тут дело с раскрытием модулей. А модуль получается из квадратного корня из квадрата выражения. Квадраты просто обязаны получиться под корнями. Иначе не бывает <в хороших задачах>

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 17:43 


04/07/15
149
$
2\cdot\left \langle \sqrt{\frac{1}{4}\log_a(ab)+\frac{1}{4}{}\log_b(ab)}-\sqrt{\frac{1}{4}\log_a(\frac{b}{a})+\frac{1}{4}\log_b\frac{b}{a}} \right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab}
\\
2\cdot\left \langle \sqrt{\frac{1}{4}(\log_a(ab)+\log_b(ab))}-\sqrt{\frac{1}{4}(\log_a(\frac{b}{a})+\log_b\frac{b}{a})} \right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab}
\\
2\cdot\left \langle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{\log_aa+\log_ab+\log_ba+\log_bb}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\log_ab-\log_aa+\log_bb-\log_ba}\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab}
\\
2\cdot\left \langle \frac{1}{2}\cdot(\sqrt{\log_aa+\log_ab+\log_ba+\log_bb}-\sqrt{\log_ab-\log_aa+\log_bb-\log_ba})\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab}
\\
\left \langle \sqrt{\log_aa+\log_ab+\log_ba+\log_bb}-\sqrt{\log_ab-\log_aa+\log_bb-\log_ba}\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab}
\\
\left \langle \sqrt{2+\log_ab+\log_ba}-\sqrt{\log_ab-\log_ba}\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab}
\\
\left \langle \sqrt{2\log_ab+\log^{2}_ab+1}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}\right \rangle
\\
\left \langle \sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}\right \rangle
$
Нашёл.Неаккуратно упростил на последнем этапе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 17:58 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Orkimed
Ну пока ее и нет!

-- 27.02.2016, 19:03 --

Она у Вас будет позже.

И еще: Вы не поняли, что тождество, которое Вы пытаетесь доказать - НЕВЕРНО?
Подставьте $a=2, b = 4$, и убедитесь.

DeBill в сообщении #1102565 писал(а):
3. Ваше тождество - неверно: в условии, видимо, под вторым корнем должен быть
"-", а не "+".

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 18:10 


04/07/15
149
DeBill
Изображение
Опечатка?
Если вместо "+" поставить "-" ,то получается очень даже хорошее квадратное уравнение с довольными корнями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
В условии опечатка. Минус на плюс тяжело опечатать, а вот дробь перевернуть — запросто. Вот что там должно стоять:
$...\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\dfrac{b}{a}}+\log_b\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}}}...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно логарифмическое тождество
Сообщение27.02.2016, 18:36 


04/07/15
149
gris
Ответ в итоге совпал.И так и так получается
$\sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{(\log_ab-1)^2}$
Теперь два случая.
1)$\sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{(\log_ab-1)^2}=2$
$\left\lvert\log_ab+1\right\rvert-\left\lvert\log_ab-1\right\rvert=2$
2)$\sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{(\log_ab-1)^2}=2\log_ab$
$\left\lvert\log_ab+1\right\rvert-\left\lvert\log_ab-1\right\rvert=2\log_ab$

-- 27.02.2016, 19:06 --

Решил.
Спасибо всем кто отозвался,указал на ошибки и опечатки в задании.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group