Еще одно логарифмическое тождество

[Orkimed]

Здравсвуйте .Никак самому не получается сдвинуться дальше.
$ 2\cdot\ \left\langle \sqrt{\log_a(ab)^\frac{1}{4}+\log_b(ab)^\frac{1}{4}}-\sqrt{\log_a(\frac{b}{a})^\frac{1}{4}+\log_b(\frac{b}{a})^\frac{1}{4}} \right\rangle \cdot \sqrt{\log_ab}= \begin{cases} 2,&\text{если $b\geqslant a>1$;}\\ 2\log_ab,&\text{если $1<b<a$;}\\ \end{cases}$$$

Смог упростить левую часть
$ \sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1} $
Далее рассматриваю два случая.
1) $\sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}=2 $
2)$\sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}=2\log_ab $
Возвожу в квадрат обе части и получается
1)$ 2\log^{2}_ab+2\log_ab-3-2\cdot\sqrt{(\log^{2}_ab+2\log_ab+2)\cdot(\log^{2}_ab-1)} = 0$
2)$ -2\log^{2}_ab+2\log_ab+1-2\cdot\sqrt{(\log^{2}_ab+2\log_ab+2)\cdot(\log^{2}_ab-1)} = 0$
Упростить дальше у меня не получается,так как вылезает $\log^{4}_ab$ и корни с "корнями".

[Otta]

Зачем Вы это? Приводите к одинаковым основаниям и выделяйте полные квадраты. Что-то у Вас с этим не так.
Вот это

Orkimed в сообщении #1102539 писал(а):

$ \sqrt{\log^{2}_ab+2\log_ab+2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1} $

откуда взялось?

[DeBill]

Orkimed
1. У Вас - арифметическая ошибка: вместо одного 2 должно быть не 2...
2. Лучше не возводить в квадрат, а извлекать корни - проще будет. Только надо помнить, что $\sqrt{x^2} = \left\lvert x \right\rvert$, а не $x$ .
3. Ваше тождество - неверно: в условии, видимо, под вторым корнем должен быть
"-", а не "+".

[Otta]

DeBill в сообщении #1102565 писал(а):

"-", а не "+".

Угу.

[gris]

Мне понравился первый ход. Он естественен, но сделан с ошибками. Опять же, по ответу видно, что тут дело с раскрытием модулей. А модуль получается из квадратного корня из квадрата выражения. Квадраты просто обязаны получиться под корнями. Иначе не бывает <в хороших задачах>

[Orkimed]

$ 2\cdot\left \langle \sqrt{\frac{1}{4}\log_a(ab)+\frac{1}{4}{}\log_b(ab)}-\sqrt{\frac{1}{4}\log_a(\frac{b}{a})+\frac{1}{4}\log_b\frac{b}{a}} \right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab} \\ 2\cdot\left \langle \sqrt{\frac{1}{4}(\log_a(ab)+\log_b(ab))}-\sqrt{\frac{1}{4}(\log_a(\frac{b}{a})+\log_b\frac{b}{a})} \right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab} \\ 2\cdot\left \langle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{\log_aa+\log_ab+\log_ba+\log_bb}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\log_ab-\log_aa+\log_bb-\log_ba}\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab} \\ 2\cdot\left \langle \frac{1}{2}\cdot(\sqrt{\log_aa+\log_ab+\log_ba+\log_bb}-\sqrt{\log_ab-\log_aa+\log_bb-\log_ba})\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab} \\ \left \langle \sqrt{\log_aa+\log_ab+\log_ba+\log_bb}-\sqrt{\log_ab-\log_aa+\log_bb-\log_ba}\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab} \\ \left \langle \sqrt{2+\log_ab+\log_ba}-\sqrt{\log_ab-\log_ba}\right \rangle\cdot\sqrt{\log_ab} \\ \left \langle \sqrt{2\log_ab+\log^{2}_ab+1}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}\right \rangle \\ \left \langle \sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{\log^{2}_ab-1}\right \rangle $
Нашёл.Неаккуратно упростил на последнем этапе.

[DeBill]

Orkimed
Ну пока ее и нет!

-- 27.02.2016, 19:03 --

Она у Вас будет позже.

И еще: Вы не поняли, что тождество, которое Вы пытаетесь доказать - НЕВЕРНО?
Подставьте $a=2, b = 4$, и убедитесь.

DeBill в сообщении #1102565 писал(а):

3. Ваше тождество - неверно: в условии, видимо, под вторым корнем должен быть
"-", а не "+".

[Orkimed]

DeBill

Опечатка?
Если вместо "+" поставить "-" ,то получается очень даже хорошее квадратное уравнение с довольными корнями.

[gris]

В условии опечатка. Минус на плюс тяжело опечатать, а вот дробь перевернуть — запросто. Вот что там должно стоять:
$...\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\dfrac{b}{a}}+\log_b\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}}}...$

[Orkimed]

gris
Ответ в итоге совпал.И так и так получается
$\sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{(\log_ab-1)^2}$
Теперь два случая.
1)$\sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{(\log_ab-1)^2}=2$
$\left\lvert\log_ab+1\right\rvert-\left\lvert\log_ab-1\right\rvert=2$
2)$\sqrt{(\log_ab+1)^2}-\sqrt{(\log_ab-1)^2}=2\log_ab$
$\left\lvert\log_ab+1\right\rvert-\left\lvert\log_ab-1\right\rvert=2\log_ab$

-- 27.02.2016, 19:06 --

Решил.
Спасибо всем кто отозвался,указал на ошибки и опечатки в задании.