Отображения (комплексные области)

[alanta]

Приветик. Есть некоторое отображение $w$: область $\{\mathop{\textrm{Re}} z<\mathop{\textrm{Im}} z\}$ на $\{\mathop{\textrm{Re}} z<1\}$.
Известно что:
$w(i)=0$
$w(0)=\infty$

1. Как найти $w$ ? И чему она равна?

[dm]

Надо полагать, ответ на этот вопрос довольно-таки сильно зависит от того, какое отношение отображение, которое

Цитата:

некоторое отображение: область $\mathrm{Re} Z<\mathrm{Im} Z$ на $\mathrm{Re} Z<1$

имеет к отображениям $w_1$, $w_2$ и тем более $w_3$ ...

[alanta]

это одно и то же отображение. Мне нужно найти формулу отображения вида w(z)=...

[Someone]

alanta писал(а):

Приветик. :D Есть некоторое отображение: область ReZ<ImZ на ReZ<1.
Известно :!: что:
w_1(i)=0
:shock: w_2(0)=бесконечность :shock:

1. Как найти w_3 ? :?: И чему она равна? :wink:

Тряхнуть, что ли, стариной, и вспомнить студенческие годы, когда сам учился строить такие отображения? Это очень простое.

Будем обозначать $x$ и $y$ действительную и мнимую части комплексного числа $z$. Искомую функцию будем обозначать $w(z)$, а обозначения $w_1(z)$, $w_2(z)$ и т.д. будем использовать для промежуточных функций.

Вообще-то, полуплоскость на полуплоскость можно было бы отобразить с помощью линейной функции, если бы не требование $w(0)=\infty$. Проще сначала позаботиться об этом условии, а потом ограничиться линейными функциями, которые отображают $\infty$ в $\infty$.
Функция $w_1(z)=\frac{1}{z}$ удовлетворяет условию $w_1(0)=\infty$ и отображает область $x<y$ на область $y<-x$. При этом $w_1(i)=\frac{1}{i}=-i$.
Сравнивая полученную область с требуемой областью $x<1$, видим, что полученную область нужно повернуть по часовой стрелке, то есть, в отрицательном направлении, на угол $\frac{\pi}{4}$. Это выполняется умножением на комплексное число, аргумент которого равен $-\frac{\pi}{4}$; например, можно взять $w_2(z)=(\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4}))w_1(z)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)w_1(z)$. Получаем $w_2(i)=-i\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
После двух проделанных преобразований мы получили область $x<0$. Эта область переходит в себя при линейных преобразованиях $az+bi$, где $a>0$ и $b$ - действительные числа. Воспользуемся этом для того, чтобы удовлетворить условию $w(i)=0$; кроме того, нам надо сдвинуть полученную область на $1$ вправо, поэтому искомое преобразование будет иметь вид $w(z)=aw_2(z)+bi+1$.
Подставляя $z=i$, получим $a\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+bi+1=0$, откуда можно найти действительные числа $a>0$ и $b$.

P.S. На мой взгляд, злоупотребляете смайликами (увлекаетесь "украшением" своего текста).

[незваный гость]

Если я правильно Вас понял, Someone, Вы считаете все $w_k(z)$ одной и той же функцией. То есть сие не есть традиционное для ТФКП обозначение какого-то оператора, а просто нелепые обозначения в условии? Тогда и задача становиться понятной, а не только Ваше решение. Спасибо!

[LynxGAV]

[Не поняла, в чем загвоздка. Функции отображают область на область последоваетльно, в итоге получается одна. Это как график функции y=|3sin2x|-1 построить по шагам...]

[Someone]

незванный гость писал(а):

:evil:
Если я правильно Вас понял, Someone, Вы считаете все $w_k(z)$ одной и той же функцией. То есть сие не есть традиционное для ТФКП обозначение какого-то оператора, а просто нелепые обозначения в условии? Тогда и задача становиться понятной...

А я посмотрел ответ alanta и решил, что он просто напутал при переписывании условия. Возможно, там было общее условие с параметрами $z_1$, $z_2$,... и $w_1$, $w_2$,..., которые в результате неумелой попытки сократить условие превратились в $w_1(z_1)$, $w_2(z_2)$,...

[tolstopuz]

Сначала хорошо бы нарисовать условие. В плоскости z мы имеем область слева-сверху от биссектрисы первого и третьего квадрантов, в плоскости w - слева от вертикальной прямой Re w = 1.

Из леммы Шварца выводится, что конформное инъективное отображение диска (полуплоскости) в диск (полуплоскость) может быть только дробно-линейным. Это должно было быть в лекциях, я не буду рассказывать подробно.

Так как у нас уже даны точки с образами 0 и бесконечность, мы почти знаем ответ: z - i должно быть в числителе, чтобы получился 0, а z - в знаменателе, чтобы получилась бесконечность. То есть w = k * (z - i) / z и остается только найти k.

Но дробно-линейное отображение, переводящее окружность (прямую) в окружность (прямую), переводит симметричные относительно этой окружности (прямой) точки в симметричные относительно образа. То есть если z = i переходит в w = 0, то z = 1 должна перейти в w = 2. На рисунке это видно сразу.

Остается только подставить эти z и w в формулу и найти k.