(Не)-различение параметра распределения Бернулли

[MaxWriter]

Бросают монету $n$ раз с неизвестным параметром $p$. Имеються два предположение про параметр $p$ : $H_{0}= \{p:=p_{0}=\frac{1}{2}\}$ против $H_{1}= \{p:=p_{1}=\frac{1}{2} + \rho\}$, где $\rho$ пока неизвестная константа. Спрашиваеться: при каких $\rho$ (по порядку) мы за $n$ бросков монеты не сможем установить правильный параметр монеты.

Моя попытка решения. Рассматриваем нерандомизированный тест $\Psi : (X_1,...,X_n) \rightarrow \{0,1\}$.

Тогда смотрим на минимум по всех тестах $\Psi$ максимума ошибок первого и второго рода и получаем

$$ \inf\limits_{\Psi} \sup\limits_{i \in \{0,1\}}E_{p_{i}}[\mathbb{I}_{\Psi \neq i}] \geq \inf\limits_{\Psi} \frac{1}{2} \left( E_{p_{0}}[\mathbb{I}_{\Psi =1}] + E_{p_{1}}[\mathbb{I}_{\Psi =0}]\right) = $$

$$ \inf\limits_{\Psi} \frac{1}{2} \left( P_{p_{0}}[{\Psi =1}] + P_{p_{1}}[{\Psi =0}]\right) = \frac{1}{2} \inf\limits_{A \in \sigma(X_1,..,X_n)}\left( 1 - (\mathbb{P}_{1}(A)-\mathbb{P}_{0})(A)\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}||\mathbb{P}_{1} - \mathbb{P}_{0}||_{TV} $$

Но в нашем случае, $\mathbb{P}_{1} = Ber^{\otimes n}\{\frac{1}{2} + \rho\},\mathbb{P}_{0} = Ber^{\otimes n}\{\frac{1}{2}\} $ и при помощи сначала неравенства Пинскера, а потом свойств расстояния Кульбака — Лейблера между получим:

$$ ||\mathbb{P}_{1} - \mathbb{P}_{0}||_{TV} \leq \sqrt{\frac{1}{2}KL(\mathbb{P}_{1},\mathbb{P}_{0})}=\sqrt{\frac{n}{2}KL(Ber\{\frac{1}{2}+\rho\},Ber\{\frac{1}{2}\})}$$

$$KL(Ber\{\frac{1}{2}+\rho\},Ber\{\frac{1}{2}\}) = (\frac{1}{2}+\rho) \log{(1+2\rho)}+(\frac{1}{2}-\rho) \log{(1-2\rho)}= \frac{1}{2}\log(1-4\rho^2)+\rho\log\frac{1+2\rho}{1-2\rho} \leq 4\rho^2 $$

(что справедливо для малых $\rho$)

И тогда
$\inf\limits_{\Psi} \sup\limits_{i \in \{0,1\}}E_{p_{i}}[\mathbb{I}_{\Psi \neq i}] \geq \frac{1}{2}-\sqrt{\frac{n}{2}} \rho$.

Тогда, получаеться когда

$\rho = u\sqrt{\frac{2}{n}}$ и$u$- малая константа, то $ \inf\limits_{\Psi} \sup\limits_{i \in \{0,1\}}E_{p_{i}}[\mathbb{I}_{\Psi \neq i}] = \frac{1}{2} -u$.

Сообственно два вопроса:

1) значит ли последнее, что для любого нерандомизированного теста и уровня значимости $\alpha < \frac{1}{2} -u$, мы не сможем различить между параметрами $p_0,p_1$ .

2) что можно сказать, если тест будет рандомизированный?

Всем спасибо.

[--mS--]

Абсолютно непонятное условие. Что значит "при каких $\rho$ не сможем установить правильный параметр"? Да ни при каких не сможем, на то и ошибки критериев. Какое отношение к этому вопросу имеет минимум наибольшей ошибки?

Вы решаете какую-то пока только Вам понятную задачу.

(Оффтоп)

имеюТСя, спрашиваеТСя, получаетСя

[MaxWriter]

Цитата:

Что значит "при каких $\rho$ не сможем установить правильный параметр"?

Извините, имелось ввиду, конечно, различить между параметрами $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2} + \rho$

Если минимум наибольшей ошибки будет рядом с $\frac{1}{2}$, то тогда не сможем различать, так?

[DeBill]

--mS--
Да вроде хорошо все ТС излагает: есть у него

MaxWriter в сообщении #1101901 писал(а):

уровня значимости $\alpha < \frac{1}{2} -u$,

заветное слово...

[--mS--]

MaxWriter в сообщении #1101945 писал(а):

Если минимум наибольшей ошибки будет рядом с $\frac{1}{2}$, то тогда не сможем различать, так?

Почему не сможем-то? Критерий с таковыми ошибками не существует, или что? Объясните условие: что значит "не сможем различить"?

-- Чт фев 25, 2016 21:24:19 --

DeBill в сообщении #1101996 писал(а):

Да вроде хорошо все ТС излагает: есть у него

MaxWriter в сообщении #1101901 писал(а):

уровня значимости $\alpha < \frac{1}{2} -u$,

заветное слово...

Это "заветное слово" появилось в решении. Каким образом оно отвечает условию, мне так и остаётся непонятным.