Непонятная теорема

[Sinoid]

Здравствуйте! Пытаюсь начать читать книгу по логике Слупецкого, Борковского. Там в качестве примера доказательства приведено следующее доказательство:

Вот смотрите, импликация ложна в единственном случае: когда посыл истина, а заключение ложь. Тогда по этой теореме получается, что не может существовать случая, когда истина то, что $m$ делит $a^2$, при этом ложь то, что $m$ делит $a$. Между тем, как подобрать такой случай не составляет труда. К примеру, истина то, что 12 делит $6^2$ и ложь то, что 12 делит 6. Я, скорее всего, недопонял какое-то определение. Разъясните, пожалуйста.

[Sonic86]

Это ложно при $n=a^2$ например: если $4$ делит $2\cdot 2$, то $4$ делит $2$.

Утверждение $(3)$ ложно.

Наверное, просто $n$ - это глобальная переменная, и на нее выше наложено ограничение простоты.

[Sinoid]

Sonic86 в сообщении #1101365 писал(а):

Наверное, просто $n$ - это глобальная переменная, и на нее выше наложено ограничение простоты.

Ограничение целыми числами перед началом примера да, наложено, а о простоте нет ни слова не то, что в примере, с начала параграфа и по этот пример простотой чисел и не пахнет.

[provincialka]

Тогда доказываемое утверждение просто ложно.

(Оффтоп)

Они бы хоть не $n$, а $p$ обозначили

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1101397 писал(а):

Тогда доказываемое утверждение просто ложно.

Да, но они называют этот и пример перед этим

Цитата:

как типичные примеры

и ниже разбирают эти доказательства по косточкам. Так что, рекомендуете выкинуть это из головы?
А скажите, я в принципе правильно понимаю имплкацию или нет. Вот дана импликация $A(n)\Rightarrow B(n)$. Это означает, что
1) существуют такие $n$ (вообще говоря, не обязательно натуральные), что $A(n)$ и $B(n)$ истинны;
2) существуют такие $n$ (вообще говоря, не обязательно натуральные), что $A(n)$ и $B(n)$ ложны;
3) существуют такие $n$ (вообще говоря, не обязательно натуральные), что $A(n)$ ложно, а $B(n)$ истинны,
но не существует ни одного числа $n$, при котором $A(n)$ истинно, а $B(n)$ ложно?

[provincialka]

Про натуральность вы ... как-то не к месту. То, что они "не натуральные" ничего еще не говорит... Надо четко описать множество, которое пробегает $n$. Переменными в предикате могут быть, скажем, участники форума, У:
А(У) = "У не выполняет правила форума"
В(У) = "У получил наказание"

А вообще стоит разобраться сначала не с предикатами, а с высказываниями.

-- 22.02.2016, 22:32 --

Sinoid в сообщении #1101404 писал(а):

не существует ни одного числа, при котором $A(n)$ истинно, а $B(n)$ ложно?

Вот это. Остальное не важно...

[Sonic86]

Sinoid в сообщении #1101404 писал(а):

Вот дана импликация $A(n)\Rightarrow B(n)$. Это означает, что
1) существуют такие $n$ (вообще говоря, не обязательно натуральные), что $A(n)$ и $B(n)$ истинны;
2) существуют такие $n$ (вообще говоря, не обязательно натуральные), что $A(n)$ и $B(n)$ ложны;
3) существуют такие $n$ (вообще говоря, не обязательно натуральные), что $A(n)$ ложно, а $B(n)$ истинны,
но не существует ни одного числа $n$, при котором $A(n)$ истинно, а $B(n)$ ложно?

Неправильно
$A(n)\Rightarrow B(n)$ - это не просто импликация, а предикат от буквы $n$.
Высказываниями являются
$(\forall n\in D)A(n)\Rightarrow B(n)$
$(\exists n\in D)A(n)\Rightarrow B(n)$
И понимать их следует стандартно.
Далее еще надо довешать функцию истинности.

Sinoid в сообщении #1101404 писал(а):

вообще говоря, не обязательно натуральные

класс объектов, не являющихся натуральными числами, не является множеством

[SomePupil]

Видимо, "делит" значит "кратен".

[yk2ru]

SomePupil в сообщении #1101480 писал(а):

Видимо, "делит" значит "кратен".

Поменять местами $n$ и $aa$ в утверждении, и будет то, что хотели утверждать на самом деле?

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1101405 писал(а):

Про натуральность вы ... как-то не к месту

Это пройдет, задачи порешаю и пройдет. Просто, когда писал, мысли крутились вокруг этой теоремы.

provincialka в сообщении #1101405 писал(а):

А вообще стоит разобраться сначала не с предикатами, а с высказываниями.

Так если книга так построена, что поделать? В книге про высказывания (в книге предложения) сказано, что они могут быть повествовательными. И точка. Поперли дальше.

Sonic86 в сообщении #1101471 писал(а):

$A(n)\Rightarrow B(n)$ - это не просто импликация, а предикат от буквы $n$.

Который становится высказыванием при замене $n$ одним из таких $n$, о которых я писал. То есть, когда я написал, что "существуют такие $n$", предикат стал высказыванием при подстановке $n$ из множества"таких $n$".

[arseniiv]

Вот только после замены и можно говорить об истинности. Нельзя говорить об истинности формулы со свободными переменными как чего-то не зависящего от интерпретации этих переменных. Но можно, как сказали вы, подставить вместо переменной константу, или, как сказал Sonic86, сделать её связанной, засунув формулу в квантор по ней.

[Sinoid]

Сейчас увидел. Эта теорема доказывается на стр. 12. На стр. 24 эта теорема повторена слово в слово и утверждается, что эта теорема была доказана Евклидом

[provincialka]

Конечно, лучше все писать явно... но наиболее естественная интерпретация следования все-таки

SomePupil в сообщении #1101480 писал(а):

$(\forall n\in D)A(n)\Rightarrow B(n)$

причем универсум $D$ подразумевается условием задачи, $D=\mathbb N$

[Someone]

Sinoid в сообщении #1101554 писал(а):

Сейчас увидел. Эта теорема доказывается на стр. 12. На стр. 24 эта теорема повторена слово в слово и утверждается, что эта теорема была доказана Евклидом

Авторы — люди, похоже, серьёзные, вряд ли они такую глупость написали, да ещё потом повторили. Скорее всего, переводчик напутал, и правильное утверждение такое: если $n$ делится на $a\cdot a$, то $n$ делится на $a$.
Впрочем, это предположение уже выдвигалось.

[type2b]

тогда утверждение (3) будет звучать: если $n$ делится на $a\cdot b$ и $n$ не делится на $a$... Что тоже есть бред.