Задача Римана о распаде разрыва

[ProPupil]

Занимаюсь численным решением задачи о распаде разрыва. Для проверки правильности алгоритма необходимо построить точное (обобщённое) решение задачи

$$\begin{align}\rho_t + (\rho u)_x = 0,\\(\rho u)_t + (\rho u^2 + P)_x = 0,\\ P(\rho)=\rho^\gamma\end{align}$$

В книге Головизнина "Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики" имеется точное решение для простых случаев (когда не возникает несколько волн). К сожалению, у них отсутствует точное решение для случая

$\rho\Bigr|_{t=0}=1,u\Bigr|_{t=0}=\begin{cases}-1, & x < 0,\\1, & x > 0\end{cases}$$.

Я пытался воспроизвести точное решение, однако так и не понял, хотя я просмотрел довольно много литературы, включая классику Рождественский,Яненко и его статью про построение решений, так и диссертацию Кожемякина на эту тему.

Прошу помочь мне направить меня в какое-нибудь русло, чтобы получить точное решение для проверки численного метода.

[Yu_K]

Метод диаграмм - состояние справа меняется волнами обращенными вправо и состояние слева меняется волнами обращенными влево. На плоскости давление-удельный объем левое и правое состояние совпадают - поэтому здесь очевидно влево и вправо пойдут две волны разрежения. Решение будет симметрично относительно начальной плоскости разрыва.

[Red_Herring]

Попробуйте найти решение вида $\rho =\phi (x/t), u=v(x/t)$. Вы получите систему двух ОДУ с "граничными условиями" $\rho(\pm \infty )=1, v(\pm \infty )=\pm 1$. Не думаю, что там есть аналитическое решение, но это единственный способ решить аналитически исходную задачу.