Функциональное уравнение

[Roman Kotyk]

Найти все функции $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, какие $\forall x,y \in \mathbb R$ удовлетворяют равенство:

$$f\left (x+xy+f(y) \right )=\left (f(x)+ \frac 12 \right )\left (f(y)+ \frac 12 \right ).$$

[DeBill]

1. Пусть $f(-1) = b$. При $y=-1$ получим:

$f(b) = (f(x)+ \frac{1}{2})\cdot (b + \frac{1}{2})$

Если $b$ не равно $-\frac{1}{2}$, то $f(x) = \operatorname{const} =b$, но тогда
$b = (b + \frac{1}{2})^2$, что невозможно. Значит,
$b= - \frac{1}{2}$, так что $f(-1) = -\frac{1}{2}$ и $f(-\frac{1}{2}) = 0$

2. Полагая $y = -\frac{1}{2}$, получим $f(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\cdot f(x) + \frac{1}{4} $.
В частности, отсюда следует $f(0) = \frac{1}{2}$

3. Полагая $y = 0$, получим $f(x + \frac{1}{2}) = f(x) + \frac{1}{2}$
4. Пусть для некоторого $z$, $f(z) = 0$ ; тогда, из последнего, $f(z- \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$
Полагая в исходном $y=z-\frac{1}{2}$, получим $f(x\cdot (z+\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}) = 0$.
При $z$, не равном $-\frac{1}{2}$ получилось бы, что $f$ равна 0 всюду...
Значит, $f(z) = 0$ только при $z=-\frac{1}{2}$
5. Полагая в исходном $x=-1$, получим $f(-1-y+ f(y)) = 0$ при всех $y$.
Значит, $-1-y +f(y) = -\frac{1}{2}$, так что $f(y) = y + \frac{1}{2}$ для всех $y$.