Атья, К-алгебра

[brachypelma]

6я задача первой главы:
В кольце $A$ любой идеал не содержащийся в нильрадикале, содержит идемпотент. Доказать что нильрадикал $\eta (A)=\sqrt{(0)}$ совпадает с радикалом Джекобсона $R(A)$
Нильрадикал это пересечение всех простых идеалов или же это множество всех нильпотентных элементов (это я знаю и умею доказывать)
Радикал Джекобсона это пересечение всех максимальных идеалов. Так же эквивалентное условие что $x\in R(A) \Leftrightarrow \forall y\in A, 1-xy $ обратим.
Что я делал, включение $\eta (A)\subseteq R(A)$ очевидно (т.к. каждый максимальный идеал - простой), в обратную сторону есть трудности.
В основном ход моих рассуждений был примерно такой:
Пусть $x\in R(A)$, тогда предположим что $x\notin \eta (A)$, тогда $ \exists a \in A, (ax)^2 = ax$ (тут просто берем главный идеал порожденный $x$ и тогда в нем есть идемотенты) и далее я пробовал как то опровергнуть что элемент $1-ax$ обратим и на этом моменте особо идей никаких не было (только неформальная в стиле как то построить многочлен от какой-то переменной, в котором в качестве коэффициентов будет мой $x$ с возможными степенями (и только он, возможно со степенями), причем этот многочлен должен быть обратимым, тогда если обратимым будет многочлен, это будет эквивалентно что $a_0$ обратим, а все его коэффициенты - нильпотенты, но опять же нет идей каким образом такой многочлен можно построить)

[Xaositect]

Из $(ax)^2 = ax$ следует, что $1 - ax$ является делителем нуля.

[brachypelma]

Аааа если мы домножим на $ax$, то получим что $(1-ax)\cdot ax = 0$, но $1-ax$ обратим и тут противоречие!
Спасибо, почему я сразу не домножил на $ax$