Простые Четырехугольники

[dimkadimon]

Появились две интересные задачи. Найдете выпуклый четырехугольник с наименьшей площадью у которого:

1. Все 4 стороны, 2 диагонали и площадь различные целые числа.
2. Все 4 стороны, 2 диагонали и площадь различные простые числа.

Решения можно свободно обсуждать тут или посылать на сайт Rivera: http://www.primepuzzles.net/problems/prob_064.htm

[gris]

1. Я бы составил ромб из четырёх одинаковых минимальных пифагоровых треугольников. То есть $(5,5,5,5,6,8,24)$. Скорее всего, далеко не минимальный, но всё же существующий

[12d3]

Числа различными должны быть. А то бы прокатил прямоугольник со сторонами 3 и 4.

[dimkadimon]

Должен отметить что у меня есть решение для первой задачи, но не уверен что оно минимально. А вот с второй задачей дела гораздо хуже. Есть только невыпуклый четырехугольник у которого все длины простые, а площадь не целая. Возможно решить вторую задачу будет очень сложно, так же сложно как найти совершенный кубоид:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D0%B4

[12d3]

Вторую задачу решить несложно - таких четырехугольников просто нет. Возможно, убрав условие простоты площади(оставим ее целой), решения появятся.

[dimkadimon]

12d3 в сообщении #1100963 писал(а):

Вторую задачу решить несложно - таких четырехугольников просто нет. Возможно, убрав условие простоты площади(оставим ее целой), решения появятся.

Очень интересно. У вас есть доказательство? Хорошо убираем простоту площади. Для начала можно даже убрать ее целость.

[12d3]

dimkadimon в сообщении #1100982 писал(а):

У вас есть доказательство?

Да.
Рассмотрим два треугольника, на которые четырехугольник делится диагональю. По формуле Герона, учетверенная площадь у каждого будет квадратным корнем из целого числа. Сумма двух квадратный корней составляет учетверенную площадь всего четырехугольника, то есть целое число. Значит, оба корня тоже целые.
Тогда, если мы линейно увеличим четырехугольник вдвое, оба треугольника будут героновыми, а площадь геронова треугольника всегда кратна 6, а значит площадь "удвоенного" четырехугольника кратна 6. Но с другой стороны, его площадь равна учетверенному простому числу. Это может быть только в случае, если это простое число 3, и тогда суммарная площадь двух героновых треугольников равна 12. Геронов треугольник с минимальной площадью, равной шести - это всеми известный пифагоров треугольник со сторонами 3,4,5. Но тогда у исходного четырехугольника получается нецелые стороны.

[dimkadimon]

Xорошее доказательство, спасибо. Ну значит ищем просто целую площадь. Задача все равно сложная и интересная.

У меня есть очень приятное улучшение для первой задачи. Я нашел выпуклый пятиугольник у которого все стороны, диагонали и площадь целые различные числа! Сначала не мог поверить что это возможно. Проверил, вроде работает. Пока не буду показывать.

[Andrey A]

dimkadimon в сообщении #1100785 писал(а):

Найдете выпуклый четырехугольник с наименьшей площадью у которого:

1. Все 4 стороны, 2 диагонали и площадь различные целые числа.

Можно ограничиться красивым четырехугольником, вписанным в окружность со сторонами

$$A=\dfrac{a^2+b^2+c^2-d^2}{2};B=\dfrac{b^2+c^2+d^2-a^2}{2};C=\dfrac{c^2+d^2+a^2-b^2}{2};D=\dfrac{d^2+a^2+b^2-c^2}{2}$$

и площадью $S=abcd$. Произведение диагоналей в нем - также целое число $D_1D_2=(ac)^2+(bd)^2$, если не ошибся. Из рациональности $D_1$ следует рациональность $D_2$, и достаточно соответствия $A,B,D_1$ сторонам геронова треугольника, который хорошо описан. Ограничение: наибольший из четырех квадратов не превышает суммы трех остальных.
А наименьшая площадь у вырожденного четырехугольника. Например $1,5,2,4,D_1=6,D_2=3.$ Он выпуклый считается :)

[Andrey A]

P.S. Треугольник описан в литературе, имеется в виду. Да и не нужно никакого треугольника, диагонали всегда рациональны: $\dfrac{D_1}{D_2}=\dfrac{(ab)^2+(cd)^2}{(ad)^2+(bc)^2}.$ Это Вторая теорема Птолемея оказывается. Так что из любых $b^2+c^2+d^2>a^2>b^2,c^2,d^2$ следует некоторое решение в целых числах.

[Andrey A]

P.S. P.S. $a,b,c,d$ - не любые числа. Дробь $\dfrac{\left[ (ac)^2+(bd)^2\right]\left[ (ad)^2+(bc)^2\right]}{\left[ (ab)^2+(cd)^2\right]}$ должна быть квадратом рационального числа. Простых решений не вижу. Погорячился.

[dimkadimon]

Andrey A в сообщении #1102299 писал(а):

Можно ограничиться красивым четырехугольником, вписанным в окружность со сторонами

Хорошая идея, но нет гарантии что такой четырехугольник будет иметь минимальную площадь. Кстати решения для этой задачи опубликованы: http://www.primepuzzles.net/problems/prob_064.htm

Для первой задачи минимальный четырехугольник имеет площадь 378. Следущая задача (как я понял) будет про целый пятиугольник. Я нашел четырехугольник с простыми сторонами и диагоналями, но он невыпуклый и с нецелой площадью:

A=(0,0), B=(-1051,0), C=(-625.0965746907707,1231.4281433806302), D=(-590.8092293054234,50.925971444162)
тогда AB=1051, BC=1303, CD=1181, AD=593, AC=1381, BD=463 и площадь=299262.75833496224.


Остаются два вопроса:
Вопрос 1: есть ли выпуклый четырехугольник с простыми сторонами и диагоналями?
Вопрос 2: есть ли выпуклый четырехугольник с простыми сторонами и диагоналями, и целой площадью?

[dimkadimon]

Ответ на второй вопрос уже есть. Его нашел Emmanuel: http://www.primepuzzles.net/problems/prob_064.htm

Он доказал что если все стороны и диагонали целые нечетные числа (сюда входят простые) то площадь не может быть целой. Площадь равна:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-(ac+bd+pq)(ac+bq-pq)/4}$

Чтобы $K$ было целым $(ac+bd+pq)(ac+bq-pq)/4$ должно быть целым. Но тут произведение двух нечетных чисел и оно не может делиться на 4.

[Andrey A]

dimkadimon в сообщении #1102562 писал(а):

Чтобы $K$ было целым...

Можно всё это упростить до евклидовой тройки

$$(2K)^2+\left( \frac{a^2-b^2+c^2-d^2}{2}\right)^2=(pq)^2$$

При нечетных $a,b,c,d$ левая часть кратна четырём, т.е. $pq$ чётное.

[dimkadimon]

Продолжение задачи тут: http://primepuzzles.net/problems/prob_065.htm

1. Найдите минимальный выпуклый пятиугольник с целыми и различными сторонами, диагоналями и площадью.

2. Найдите выпуклый четырёхугольник с различными простыми сторонами и диагоналями.