Ответ положительный на оба вопроса. Что касается единственности, то это тривиально (достаточно вспомнить, как ищется общее решение, если известно частное). Чтобы найти хотя бы одно такое решение, то можно действовать, например, так. Перепишем уравнение в виде

Сначала разбираемся с первым уравнением:

Отсюда уже очевидно, чему должно равняться

, чтобы последовательность

была ограничена. Аналогично разбираемся с

(попутно ещё раз доказали единственность).