Ограниченная последовательность

[Taras]

На кружке предложили следующую задачу:
Пускай $a_n , n\in \mathbb{Z}$-ограниченная послежовательность, существует ли ограниченная последовательность $x_n, n\in \mathbb{Z}$, такая что: $2x_{n+2}+x_{n+1}-2x_n=a_n$. Если существует, то единственная ли она?

[RIP]

Ответ положительный на оба вопроса. Что касается единственности, то это тривиально (достаточно вспомнить, как ищется общее решение, если известно частное). Чтобы найти хотя бы одно такое решение, то можно действовать, например, так. Перепишем уравнение в виде

$$y_{n+1}-\frac{\sqrt{17}-1}4y_n=\frac{a_n}2,\qquad y_n=x_{n+1}+\frac{\sqrt{17}+1}4x_n.$$

Сначала разбираемся с первым уравнением:

$$z_{n+1}-z_n=\left(\frac{\sqrt{17}+1}4\right)^{n+1}\frac{a_n}2,\qquad z_n=\left(\frac{\sqrt{17}+1}4\right)^ny_n.$$

Отсюда уже очевидно, чему должно равняться $y_0$, чтобы последовательность $y_n$ была ограничена. Аналогично разбираемся с $x_n$ (попутно ещё раз доказали единственность).