quartermind,
я следую определениям и обозначением книги: И.П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. 3-е изд., 1999. На странице 30 автор определяет континуум как мощность числового отрезка
![$[0;1]$ $[0;1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/a/21ad730ee7df0b97abd700cb0f8426e682.png)
(что, очевидно, эквивалентно определению континуума как мощности множества действительных чисел).
А мощность булеана счётного множества по определению есть
![$2^a$ $2^a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/2/7921c41bd98fc82755548341162fceba82.png)
. Которая, как легко доказывается, не превосходит
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
. Континуум-гипотеза состоит в том, что выполняется именно равенство (а не просто нестрогое неравенство):
![$2^a=c$ $2^a=c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/1/4f1854a09087769399880e1797ecddd782.png)
.
Нет. Легко доказывается, что
![$2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$ $2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/1/8b112075d43879a7287bb6a8f9b30d5f82.png)
(каждой бесконечной двоичной дроби соответствует какое-то подмножество множества натуральных чисел, и надо сказать пару слов про то, что из-за дробей с единицами в конце не слишком много потеряем). Континуум-гипотеза говорит о том, что нет множеств с мощность, промежуточной между счетной и континуумом, то есть, если обозначить
![$\aleph_1$ $\aleph_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/a/0ca3307287d71652e953213a13f64d6082.png)
минимальную мощность несчетного множества, то
![$\aleph_1 = \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ $\aleph_1 = \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/7/b477a9b6becc2fbf8baf76adcbb10ecd82.png)
.