Как правильно пользоваться лагранжианами со спинорами?

[Ascold]

В одной задаче, которая тут уже обсуждалась, брался майорановский фермион, у спинора которого $\psi_R=0.$ Я узнал, что такое майорановский фермион, но с его лагранжианом обращаются как-то странно. Более того, подобным же образом у меня не получается задача с похожим лагранжианом, но без всякой "майорановости". Итак,

$$L=i\psi^\dagger_L\bar\sigma^\mu\psi_{L,\mu}-\frac{m}{2}(\psi_L^T\sigma^2\psi_L+\psi^\dagger_L\sigma^2\psi^*_L).$$

Варьируем $\psi^*_L,$ тогда уравнение Лагранжа-Эйлера

$$ \frac{\partial L}{\partial\psi^*_L}-\frac{\partial}{\partial x^\nu}\frac{\partial L}{\partial\psi^*_{L,\nu}}=0$$

сводится к

$$\frac{\partial L}{\partial\psi^*_L}=0.$$

У меня сначала получилось

$$\frac{\partial L}{\partial\psi^*_L}=i\bar\sigma^\mu\psi_{L,\mu}-\frac{m}{2}(\sigma^2\psi^*+\psi^\dagger\sigma^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~(1),$$

тогда как у автора решения этой задачи

$$\frac{\partial L}{\partial\psi^*_L}=i\bar\sigma^\mu\psi_{L,\mu}-\frac{m}{2}(\sigma^2\psi^*-\psi^\dagger\sigma^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~(2),$$

и "при этом берётся левая вариационная производная", а знак минус перед последним слагаемым в скобке возникает на том основании, что, вроде как "из-за антикоммутативного характера спиноров дифференцирование функционала $\psi_1(\psi)\psi_2(\psi)$ имеет вид

$$\frac{d}{d\psi}(\psi_1(\psi)\psi_2(\psi))=\frac{d\psi_1}{d\psi}\psi_2-\psi_1\frac{d\psi_2}{d\psi}.$$

Я попробовал доказать последнюю формулу покомпонентно - ничего не получается, коммутируют аргументы функций $\psi_1$ и $\psi_2$ - всё равно получается, что производная произведения будет с привычным знаком.
Ещё меня здесь смущает термин "вариационная производная" - в уравнении Лагранжа-Эйлера ведь обычное дифференцирование идёт, всё варьирование уже проведено при выведении этих уравнений.
Кроме того, если внимательно считать производные по $\psi^*_L$ от $\psi^\dagger_L\sigma^2\psi^*_L=\psi^\dagger_L_\alpha\sigma^2_{\alpha\beta}\psi^*_L_\beta, $ то получается покомпонентно

$$\frac{\partial}{(\psi^*_L)_{\alpha}}(\psi^\dagger_{L\alpha}\sigma^2_{\alpha\beta}\psi^*_{L\beta})=\sigma^2_{\alpha\beta}\psi^*_{L\beta}+\psi^\dagger_{L\alpha}\sigma^2_{\alpha\beta}=\sigma^2_{\alpha\beta}\psi^*_{L\beta}+(\sigma^2_{\alpha\beta})^T(\psi^*_L)_{\alpha}=(\sigma^2_{\alpha\beta}+\sigma^2_{\beta\alpha})(\psi^*_L)_{\alpha}=0$$

из-за вида матрицы $\sigma^2=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$.
Где я ошибаюсь?
(1) или (2), мне кажется, бессмысленным, т.к. $\sigma^2\psi^*\pm\psi^\dagger\sigma^2$ - это сумма/разность столбца со строкой?

[physicsworks]

Ascold в сообщении #1099996 писал(а):

Более того, подобным же образом у меня не получается задача с похожим лагранжианом, но без всякой "майорановости". Итак,

$$L=i\psi^\dagger_L\bar\sigma^\mu\psi_{L,\mu}-\frac{m}{2}(\psi_L^T\sigma^2\psi_L+\psi^\dagger_L\sigma^2\psi^*_L).$$

У вас в этом лагранжиане как раз-таки майорановский массовый член, получаемый из $m\overline{\psi}_M\psi_M$, где $\psi_M=(\psi_L,i\sigma^2 \psi_L^*)^T$. Вы мой ответ в предыдущей теме читали?

По поводу вывода. Это правило Лейбница для грассмановых чисел. Доказать его можно из двух предположений:
1) $\frac{d}{d\theta_i}\theta_j = \delta_{ij}$;
2) Дифференциальный оператор антикоммутирует с $\theta_i$.

[type2b]

Чтобы не путаться, не надо пользоваться формулой для уравнений Лагранжа, а лучше писать саму вариацию. И держать в голове, что грассмановы переменные (а также и их вариации, которые тоже грассмановы) антикоммутируют, а потому, скажем, $(\delta\psi_1) \psi_2=-\psi_2\delta\psi_1$. В вариации действия при собирании членов к виду, скажем, $\int\delta\psi\cdot(\dots)$ при перемещении $\delta\psi$ влево возникнут минусы.

[Ascold]

Цитата:

У вас в этом лагранжиане как раз-таки майорановский массовый член, получаемый из $m\overline{\psi}_M\psi_M$, где $\psi_M=(\psi_L,i\sigma^2 \psi_L^*)^T$. Вы мой ответ в предыдущей теме читали?

Да, читал, благодарю за информацию, этот лагранжиан - именно оттуда. Просто на подходе есть ещё одна задача с лагранжианом, содержащим члены вида $\psi^TA\psi$ есть, вот я и решил разом рассмотреть всё это.

Цитата:

$(\delta\psi_1) \psi_2=-\psi_2\delta\psi_1$. В вариации действия при собирании членов к виду, скажем, $\int\delta\psi\cdot(\dots)$ при перемещении $\delta\psi$ влево возникнут минусы.

точно же - а я формально применил уравнения Лагранжа, не учтя, что для их получения нужно вариацию варьируемой переменной отделить в одну сторону от остального. Спасибо за указание.