2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Открытость сужения факторотображения
Сообщение15.02.2016, 23:33 
Здравствуйте.
Предположим, что есть хаусдорфово топологическое векторное пространство $X$, $E_1$ -- его замкнутое подпространство. Представим $X$ в виде прямой суммы $X = E_1 \oplus E_2$. Путь $X/_{E_1}$ есть факторпространство, $\pi$ есть факторотображение. Рассмотрим его сужение $\pi_{|E_2}$ на подпространство $E_2$.
Верно ли, что $\pi_{|E_2}$ открыто?

 
 
 
 Re: Открытость сужения факторотображения
Сообщение16.02.2016, 20:53 
Вообще говоря, это неверно. В качестве $E_1$ можно взять ядро какой-нибудь непрерывной полунормы (взять пр-во, где хоть одна есть). Тогда факторпространство нормируемо, и если бы $\pi_{|E_2}$ было открыто, то это означало бы, что $\pi_{|E_2}$ является топологическим векторным изоморфизмом, из чего следует нормируемость $E_2$, чего может не быть. Мне, как начинающему, кажется интересным то, что векторная структура пространств $X/_{E_1}$ и $E_2$ идентична, а вот топологическая структура у пространства $X/_{E_1}$ (наверное, как правило) более богата. Например, если пр-во нехаусдорфово, то фактор может оказаться хаусдорфовым, а $E_2$ -- нет.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group