Планиметрическая задача с окружностью и треугольником

[iou]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Задача: Окружность радиуса $6$ проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$ и пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственною Центр $O$ окружности лежит на стороне $AC, AO=12, CO=10, \angle{OBC}=\angle{BCO}+\angle{EOA}.$ В каком отношении прямая $BO$ делит отрезок $EF?$ Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$
Что мне удалось выяснить:
$OF=OB=OE=r$, откуда $\angle{OBF}=\anlge{OFB}; \angle{OBE}=\angle{OEB}; \angle{OEF}=\angle{OFE}$ из соответствующих равнобедренных треугольников.
Пусть $\angle{OBC}=\alpha,$ $\angle{OCF}=\beta,$ $\angle{EOA}=\gamma$, тогда $\alpha=\beta+\gamma$
Из треугольника $BOC:\angle{BOC}=\pi-\alpha-\beta$, из треугольника $BOF: \angle{BOF}=\pi-2\alpha$, тогда $\angle{FOC}=\angle{BOC}-\angle{BOF}=\alpha-\beta=\gamma$ и из треугольника $OFC: \angle{OFC}=\pi-\alpha$.
$\angle{EOB}=\pi-\angle{AOE}-\angle{BOF}-\angle{FOC}=\pi-2\gamma-\pi+2\alpha=2\beta$, тогда из треугольника $EOB: \angle{OEB}=\angle{OBE}=\frac{\pi}{2}-\beta$.
Поэтому $\angle{ABC}=\angle{ABO}+\angle{CBO}=\frac{\pi}{2}-\beta+\alpha=\frac{\pi}{2}+\gamma$
Тогда по теореме синусов в треугольнике $ABC: R=\dfrac{22}{2\sin({\frac{\pi}{2}+\gamma})}$, но $\sin({\frac{\pi}{2}+\gamma})=\cos{\gamma}$, тогда $R=\dfrac{11}{\cos{\gamma}}$
Откуда выразить $\gamma$ и как всё это подвести к отношению $\frac{EG}{GF}$?
off: рисунок

(Оффтоп)

[DeBill]

iou
Красивая картинка!
Обратите внимание: угол $BFE$ - вписанный, а $BOE$ центральный!
Так что сразу нашли Ваше отношение.
С радиусом: наша окружность описана около $BFE$, подобного $BCA$, так что достаточно найти к-т подобия.
Ну, у меня тут так просто не получается. Но можно - по теореме синусов из тр-ков $ABO$, $CBO$ найти отношения $\frac{\sin A}{\cos C} =\frac{6}{12}$ и $\frac{\sin C}{\cos A}= \frac{6}{10}$ и (оттуда же ) найти к-т подобия $k=\frac{\cos (A-C)}{2\sin A \cdot \sin C}$. Как делать чисто геометрически - не знаю.

[iou]

DeBill в сообщении #1099252 писал(а):

Обратите внимание: угол $BFE$ - вписанный, а $BOE$ центральный!
Так что сразу нашли Ваше отношение.

Вы об отношении $\dfrac{EG}{GF}$? Я не понимаю, как из этого факта выразить это отношение..

(Оффтоп)

Кстати, на бумаге я отметил этот факт, и, соответственно, нашёл $\angle{EFB}=\beta$, но забыл это написать тут.

[DeBill]

iou
Дык Вы же нашли угол $BOE = 2\beta$. Значит, угол $BFE$ равен $\beta$, так что прямые $EF$ и $AC$ параллельны...Потому отношение Ваше - такое же как $AO:OC$

[iou]

DeBill в сообщении #1099314 писал(а):

iou
Дык Вы же нашли угол $BOE = 2\beta$. Значит, угол $BFE$ равен $\beta$, так что прямые $EF$ и $AC$ параллельны...Потому отношение Ваше - такое же как $AO:OC$

Да-а, уже изначальные данные из головы вылетели..
Спасибо!