Как не потерять решение?

[Someone]

Согласен.

-- Вт фев 09, 2016 14:16:22 --

P.S. Только не употребляйте слово "решение" в таком контексте: интегралы не решают. Решают уравнения, неравенства, задачи, но не интегралы и не производные. И функции не решают. И ещё много чего.

[svv]

schekn в сообщении #1097983 писал(а):

Так если подставить во внешнее решение $r=R$ получается $2/R^2 $, . А это неправильно. Должно быть в 2 раза меньше.

То, что Вы заметили, действительно имеет смысл и освещается в теории потенциала.

Обозначения:
$D$ — ограниченная область в $\mathbb R^3$ с гладкой границей $\partial D$;
$\sigma$ — гладкая вещественная функция, заданная на $\partial D$;
$\Phi(\mathbf x, \mathbf y)=\frac 1{|\mathbf x-\mathbf y|},\;\;\mathbf x, \mathbf y\in\mathbb R^3$ — фундаментальное решение трехмерного уравнения Лапласа;
$\varphi(\mathbf x)=\int\limits_{\partial D}\Phi(\mathbf x, \mathbf y)\;\sigma(\mathbf y)\;dS(\mathbf y),\;\;\mathbf x\in\mathbb R^3\setminus\partial D$ — потенциал простого слоя с плотностью $\sigma$.
Нас будет интересовать также градиент потенциала. Считая, что $\mathbf x\notin \partial D$, можно перенести дифференцирование под знак интеграла:
$\operatorname{grad}\varphi (\mathbf x)=\int\limits_{\partial D}\operatorname{grad_{\mathbf x}}\Phi(\mathbf x, \mathbf y)\;\sigma(\mathbf y)\;dS(\mathbf y)$

Потенциал простого слоя и его градиент определены для точек $\mathbf x$, не лежащих на границе области. Но оказывается, что для обеих этих функций существуют предельные значения при стремлении к произвольной точке $\mathbf x\in\partial D$ снаружи и изнутри области $D$. Кроме того, оба записанных выше интеграла существуют в несобственном смысле при $\mathbf x\in\partial D$.

Обозначим «внешний» предел индексом $e$, «внутренний» индексом $i$ (от слов exterior, interior), значение соответствующего несобственного интеграла на границе — индексом $0$. Тогда
$\varphi_e(\mathbf x)=\varphi_i(\mathbf x)=\varphi_0(\mathbf x)$
$(\operatorname{grad}\varphi)_e(\mathbf x)=(\operatorname{grad}\varphi)_0(\mathbf x)-2\pi\;\sigma(\mathbf x)\;\mathbf n(\mathbf x)$
$(\operatorname{grad}\varphi)_i(\mathbf x)=(\operatorname{grad}\varphi)_0(\mathbf x)+2\pi\;\sigma(\mathbf x)\;\mathbf n(\mathbf x)$
Здесь $\mathbf n(\mathbf x)$ — внешняя нормаль к $\partial D$ в точке $\mathbf x$. Итак, можно считать, что потенциал простого слоя определён всюду и непрерывен. Градиент же имеет скачок.

Сложим два последних уравнения:
$(\operatorname{grad}\varphi)_e(\mathbf x)+(\operatorname{grad}\varphi)_i(\mathbf x)=2(\operatorname{grad}\varphi)_0(\mathbf x)$
Это для Вас должно быть интересно: значение несобственного интеграла для $\operatorname{grad}\varphi$ в точке на границе равно среднему арифметическому пределов снаружи и изнутри в той же точке. И это независимо от формы области и вида функции $\sigma(\mathbf x)$.

Так как в Вашем случае потенциал на $\partial D$ — константа, внутри области он, как решение внутренней задачи Дирихле, равен той же константе. Поэтому $(\operatorname{grad}\varphi)_i(\mathbf x)=0$, откуда
$(\operatorname{grad}\varphi)_e(\mathbf x)=2(\operatorname{grad}\varphi)_0(\mathbf x)$

Это и объясняет замеченный Вами эффект.

[schekn]

Спасибо, svv и Someone и другим, это очень интересно и неожиданно.