2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 21:53 
Для любых ли матриц $A$ и $B$, таких что $A^3=B^3$ будет верно $A=B$.

Есть идея такая $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.

То есть осталось проверить, возможно ли при $A\ne B$ равенство $A^2-AB+B^2=0$. Интуиция подсказывает, что ввиду симметрии не могут быть матрицы различными ,но как строго доказать?

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 21:57 
Не для любых. Например. Легко придумать две разные ненулевые матрицы, третья степень каждой из которых - матрица нулевая.

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 22:21 
Аватара пользователя
mr.tumkan2015 в сообщении #1097172 писал(а):
Есть идея такая $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Проверим:
$(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3+A^2B+AB^2-BA^2-BAB-B^3.$
Как-то не получается.

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 22:25 
Аватара пользователя
Обычная ошибка начинающего- предполагать коммутативность умножения матриц.

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 23:38 
Спасибо, разобрался!

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 00:57 
mr.tumkan2015

$(\frac{-1+\sqrt{3}\cdot i}{2})^3=1$ :D

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 09:26 
Аватара пользователя
Для симметричных это выполняется. Для общего вида - нет. Причём два разных способа невыполнения тут уже указали.

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 11:08 
Аватара пользователя
Вот ещё.
$\begin{bmatrix}0&0&-i\\i&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}^3=E$
http://mathworld.wolfram.com/k-Matrix.html

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 12:00 
Аватара пользователя
Евгений Машеров в сообщении #1097236 писал(а):
Для симметричных это выполняется.

Если для комплексных матриц--то для эрмитовых

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 12:38 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #1097246 писал(а):
Если для комплексных матриц--то для эрмитовых


Да, безусловно. Но я имел в виду только действительные.

 
 
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 15:49 
Аватара пользователя
Ну и на закуску можно вспомнить, что всякое комплексное число $a+ib$ можно представить вещественной матрицей $$\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$ (с сохранением умножения и сложения).

-- Сб фев 06, 2016 17:52:37 --

А, ну да, я вижу, что уже вспомнили:
DeBill в сообщении #1097215 писал(а):
mr.tumkan2015

$(\frac{-1+\sqrt{3}\cdot i}{2})^3=1$ :D

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group