Funny system

[ins-]

Prove that for any real number $k < 6$ the system:
$x^2+y^2=k^2$
$y=|x^2-kx|-k$
have odd number of real solutions.

[mihiv]

Если изобразить эту систему графически, то очевидно, что система имеет нечетное число решений для всех значений $k$ за исключением одного, при котором графики кривых касаются в одной точке, (обозначим его $k_0$). Это значение $k$ находится из системы уравнений:

$$\begin {cases}kx-x^2-k=\sqrt {k^2-x^2}\\k-2x=-\dfrac x{\sqrt {k^2-x^2}}\end {cases}$$

При $k\leq 0$ система имеет одно решение, при $0<k<k_0$- три решения, при $k=k_0$- четыре решения и при $k>k_0$- пять решений. Почему в условии предполагается $k<6$ не совсем понятно.

[ins-]

The source of this system is Bulgarian MO - regional round 1987. When some problems are supposed to be solved in 1-1,5 h. some similar limitations appears. Example of similar problem from the Polish MO is the following: Let $a, b, c$ are real numbers greater than or equals to $-\frac{3}{4}$ Prove the inequality: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$. The inequality is true over all real numbers, but a beautiful and simple looking proof exists when the limitation appears. It makes the problem a little more exotic

[DeBill]

ins-
Я не понял последнюю задачу: а если $a=b=c=1$ ?

-- 11.02.2016, 21:22 --

mihiv
А какая-то дурная система. По моему, хрен ее решишь...
Вот и написали про $k<6$- да и тут как-то нерадостно...

[ins-]

DeBill
Excuse me, I forgot the additional condition $a+b+c=1$ (It is Polish MO - second round - 1996). If it is "дурная система" depends on the person's taste.

[Lia]

ins-
Не пишите несколько задач в одну тему. Создавайте новую.
Уточните условие последней задачи и создайте новую тему для нее.

[ins-]

It is not a problem to be solved, just an example. Excuse me!

[Lia]

Ok

[DeBill]

ins-

ins- в сообщении #1098745 писал(а):

If it is "дурная система" depends on the person's taste

Я говорил о системе, которую получил mihiv.

И имел ввиду только то, что она плохо решается

[ins-]

Now I'm understanding.

(Оффтоп)

Btw, I solved the problem about square function you solved today topic105847.html in a different way. I hope you will like it.

[DeBill]

mihiv в сообщении #1098668 писал(а):

Это значение $k_0$ находится из системы уравнений:

$$\begin {cases}kx-x^2-k=\sqrt {k^2-x^2}\\k-2x=-\dfrac x{\sqrt {k^2-x^2}}\end {cases}$$

К сожалению, эта система сводится к уравнению четвертой степени...
Так что придется делать именно для "$k<6$".

mihiv в сообщении #1098668 писал(а):

Если изобразить эту систему графически, то очевидно

что надо показать, что при всех $k, 0<k<6$ кусок окружности $x^2 + y^2 = k^2 , y>0, 0<x<k$ лежит выше параболы $y=kx-x^2-k$. Т.е., надо доказать, что $\sqrt{k^2 - x^2} > kx-x^2-k$ при $0<x<k$. Это -тоже нехорошее неравенство. Вместо него докажем более сильное

$\sqrt{k\cdot x - x^2} > kx-x^2-k$ при $0<x<k$. Обозначим левую часть через $z$. Ясно, что $0< z < \frac{k}{2}$ Надо:

$z> z^2 -k$, или $z+k > z^2$. Слева - линейная, справа - строго выпуклая вниз функции. Значит, достаточно проверить в крайних точках. В нуле: верно. В точке $\frac{k}{2}$: надо $\frac{3k}{2} > \frac{k^2}{4}$. А это как раз и верно при $0 < k < 6$. Случай $k\leqslant 0$ рассмотрел mihiv

[ins-]

Using $-k \le x \le k$ (from the first equation) and $(0,-k)$ is always a solution to the system I posted. Then 3 cases for $k$ might be considered $k<0$, $k=0$ and $0<k<6$. First and the second are obvious - only one solution by pure algebra. The last one might be divided by two cases for $x$ - $x<0$ and $x>0$ and by intersections of a circle and a parabola, always passing through a fixed circle's point (0, -k) it follows that for $0<k<6$ the system have $3$ solutions.