Частично упорядоченные множества

[EgZvor]

Читаю книгу Кемени, Снелла "Конечные марковские цепи", дана информация из order theory. Дано отношение $T$ на $U$ слабого порядка (weak ordering), то есть выполнены отношения рефлексивности и транзитивности. Определяется минимальный элемент. $a \in U$ такой, что если $aTx$, то $xTa$ для $\forall x \in U$. Затем написано, максимальный элемент определяется аналогично. Но насколько я понимаю, под это отношение подходит как $\leq$, так и $\geq$. Отсюда вопрос, чем отличаются максимальный и минимальный элемент?

[Lia]

EgZvor в сообщении #1097127 писал(а):

Отсюда вопрос, чем отличаются максимальный и минимальный элемент?

В зависимости от того, какое отношение ($\leq$ или $\geq$) Вы будете использовать, получится определение максимального либо же минимального элемента. Только вот кванторы лучше в начале писать, а то прочтение может оказаться некорректным.

[EgZvor]

Lia

Lia в сообщении #1097135 писал(а):

В зависимости от того, какое отношение ($\leq$ или $\geq$)

Мне кажется, должно быть для каждого отношения определение как максимального, так и минимального элемента. И в случае $\leq$ и $\geq$ они будут противоположными.

[Lia]

Но ведь оно "одно и то же". $(a\le b) \Leftrightarrow (b\ge a)$.

[EgZvor]

Lia
Тут еще неудобно то, что конкретно $\leq$ и $\geq$ это уже partial ordering ($a \leq b \wedge b \leq\ a \implies a = b$).

[Lia]

Вы выпишите определение минимального элемента толком, с нужным отношением, и будет понятно, о чем речь.

[EgZvor]

Lia в сообщении #1097146 писал(а):

Вы выпишите определение минимального элемента толком, с нужным отношением, и будет понятно, о чем речь.

В том и суть, что оно универсально, для любого отношения

[arseniiv]

EgZvor в сообщении #1097138 писал(а):

Мне кажется, должно быть для каждого отношения определение как максимального, так и минимального элемента. И в случае $\leq$ и $\geq$ они будут противоположными.

Ну да. Минимальный элемент — это максимальный элемент «обратного» отношения порядка, и наоборот. И так для любых частичных порядков.

[EgZvor]

arseniiv
Спасибо, откуда тогда само название минимального элемента идёт?

-- 05.02.2016, 21:12 --

Видимо из этого. $aTb \wedge bTa$ элементы называют схожими, $aTb \wedge \neg bTa$ тогда элемент $a$ впереди элемента $b$.

[Lia]

EgZvor
Порядок он порядок. Рассмотрите самый простой случай. Положите две вещественных прямых, положите одну под другой. На одной введите естественное отношение порядка так, чтобы числа возрастали слева направо, как привычно. А на другой - в другом направлении. И возьмите два одинаковых отрезка на каждой прямой. Тогда самая правая точка отрезка будет максимальной для первой прямой, а для второй она же - минимальной. Все зависит, грубо говоря, от способа сортировки. Называться элемент во втором случае будет минимальным, потому что при таком способе сортировки (я очень вольно выбираю выражения, чтобы как-то объяснить) он действительно минимален.

[arseniiv]

EgZvor в сообщении #1097152 писал(а):

Спасибо, откуда тогда само название минимального элемента идёт?

Эм, не совсем ясен вопрос. Если мы понимаем $x\mathrel{T}y$ как «$x$ в каком-то смысле меньше/перед $y$», соответствующая формула с $T$ даст что-то более подобающее называться минимальным, а не максимальным элементом. А если мы взяли обратное отношение, то сами виноваты, что будет всё наоборот. Вообще, потому обычно все отношения порядка обозначают похоже на $<$, чтобы знать, с какой стороны что.

Видимо, я не понял вопроса всё-таки. Кстати, вас ещё ждёт веселье с отличиями смысла наименьшего и минимального элементов.

[Lia]

arseniiv в сообщении #1097169 писал(а):

Кстати, вас ещё ждёт веселье с отличиями смысла наименьшего и минимального элементов.

А вот это действительно весело.

[EgZvor]

arseniiv
Да вроде всё так и понял, а с наименьшим разница ведь только в том, что он единственен, так?

[Someone]

Нет. Наименьший — который меньше всех остальных. Минимальный — меньше которого нет.
Если есть наименьший, то он является также и минимальным, и других минимальных элементов нет.
Если наименьшего нет, то минимальный элемент может не существовать, может быть единственный минимальный элемент, может быть много минимальных элементов.

[arseniiv]

EgZvor, кстати, вам стоит построить примеры к каждому (хотя бы где-нибудь у себя). Очень просто, когда уже перечислены все возможности.