Забытые аргументы

[Sinoid]

Здравствуйте! В книге Верещагина, Шень(а?) Начала теории множеств есть такое место:

скажите, пожалуйста, верно ли я понимаю, что во второй и третьей выклочных формулах забыли указать аргументы, т.е., например, вторая выклочная формула на самом деле такая: $\chi_{A_{1}\cup\ldots A_{n}}(u)=1-(1-\chi_{A_{1}}(u))\ldots(1-\chi_{A_{n}}(u))$, где $u$ - произвольный элемент множества $U$ ?

[Lia]

Функции называются равными если и только если их значения равны в каждой точке общей области определения.

[Someone]

В теории множеств очень естественно использовать символ $f$ (или любой другой) для обозначения самой функции как объекта, и комбинацию символов $f(x)$ (и очень часто даже просто $fx$) для обозначения значения функции на элементе $x$.

[arseniiv]

Ещё проблему можно было бы увидеть в том, что, например, умножение определено на множестве $\{0,1\}$, а не на множестве функций из чего-нибудь в $\{0,1\}$. Обычное соглашение в подобных случаях — «поднимать» операции на $A$ до операций на $X\to A$ или, скажем, $A^n$ (со словами «будем что-то там покомпонентно»), и обозначать поднятые тем же образом.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1097132 писал(а):

комбинацию символов $f(x)$ (и очень часто даже просто $fx$) для обозначения значения функции на элементе $x$.

[/quote]

Lia в сообщении #1097129 писал(а):

Функции называются равными если и только если их значения равны в каждой точке общей области определения.

Но нагляднее было бы с аргументами: книга-то для школьников в том числе (я сам в данный момент в теории множеств не лучше школьника), тем более потом идет суммирование по области $U$. Кстати, а потом ведь порядок суммирования меняется?

[Lia]

Sinoid
Если Вам нагляднее, припишите карандашиком. :) Текст не перестанет быть правильным.

Sinoid в сообщении #1097161 писал(а):

Кстати, а потом ведь порядок суммирования меняется?

От перестановки слагаемых в $\mathbb R$ сумма не меняется.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1097161 писал(а):

Но нагляднее было бы с аргументами: книга-то для школьников в том числе

Наглядно расставляя аргументы, можно нечаянно прийти к ерунде весьма сомнительной записи типа $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. (Интересно, сколько человек не найдут ошибку?)

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1097182 писал(а):

От перестановки слагаемых в $\mathbb R$ сумма не меняется.

Так я же и уточняю: это же потом идет перегруппировка слагаемых?

Lia в сообщении #1097129 писал(а):

Функции называются равными если и только если их значения равны в каждой точке общей области определения.

arseniiv в сообщении #1097182 писал(а):

Наглядно расставляя аргументы, можно нечаянно прийти к ерунде весьма сомнительной записи типа $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

Так и не расставляя аргументы, можно получить не менее интересную формулу: $\sin^{2}=1-\cos^{2}$, а что? Области определения же совпадают, все отлично! А какая там разница синус и косинус чего имеется ввиду! И написать ее в учебнике для восьмого класса, сразу после определения синуса и косинуса, пусть ученики извилины заплетают! А вы представляете, как такие учебник поднимут интерес учащихся к математике! И авторитет самой математики. Опять же экономия чернил в масштабе страны какая! С другой стороны, пример arsenv'а показывает, что для однозначного понимания формулы не обязательно указывать аргументы. Выходит, надо думать, когда можно не указывать аргументы, а когда нет.

Lia в сообщении #1097164 писал(а):

Если Вам нагляднее, припишите карандашиком. :)

Пожалуйста: $\ensuremath{\chi_{A_{1}\cup\ldots A_{n}}(u_{0})=1-(1-\chi_{A_{1}}(u_{1}))\ldots(1-\chi_{A_{n}}(u_{n}))}$ и что это, правильная формула

[svv]

arseniiv
А мы вот так вот:
$\Bigl(\lambda x.f(x)g(x)\Bigr)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
Тут $x$ внутри больших скобок и $x$ в других местах — разные переменные.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

Так я же и уточняю: это же потом идет перегруппировка слагаемых?

Перегруппировка будет, да. Хотя цитата, на которую вы отвечали, отнюдь не моя.

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

Так и не расставляя аргументы, можно получить не менее интересную формулу: $\sin^{2}=1-\cos^{2}$, а что?

А ничего, хорошая формула. Не требует подразумевать или ставить квантор всеобщности для переменной.

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

И написать ее в учебнике для восьмого класса, сразу после определения синуса и косинуса, пусть ученики извилины заплетают!

Разумеется, это можно писать только после того, как появилась ясность насчёт понятия функции. В рассматриваемом вами первоначально контексте эта ясность уже должна быть.

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

Выходит, надо думать, когда можно не указывать аргументы, а когда нет.

Совершенно верно. Более того, надо думать вообще в любом случае. (Пока это невыполнимо для любого человека в силу его устройства, но стремиться не грех!)

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

Пожалуйста: $\ensuremath{\chi_{A_{1}\cup\ldots A_{n}}(u_{0})=1-(1-\chi_{A_{1}}(u_{1}))\ldots(1-\chi_{A_{n}}(u_{n}))}$ и что это, правильная формула

Почему аргументы разные? Авторы не подразумевали расстановки разных. Честно, если предыдущее ещё улыбало, это уже не смешно.

svv в сообщении #1097270 писал(а):

А мы вот так вот:
$\Bigl(\lambda x.f(x)g(x)\Bigr)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
Тут $x$ внутри больших скобок и $x$ в других местах — разные переменные.

Гол. Правда, я подразумевал не добавление одного $(x)$, а наоборот: $(fg)'(x) = \ldots$ Хотя вот в философии языка Python написали «явное лучше, чем неявное».

[Lia]

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

И авторитет самой математики. Опять же экономия чернил в масштабе страны какая!

Sinoid
Прекращайте митинг.

Вы спросили, как это понимать - Вам ответили. Что Вы не хотите это понимать (так или иначе) - не во власти форума и не сюда. При продолжении в том же тоне тема будет перенесена в более подходящий раздел.

[Munin]

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

Так и не расставляя аргументы, можно получить не менее интересную формулу: $\sin^{2}=1-\cos^{2}$, а что?

В общем, в высшей математике такое нередко происходит. Только для этого надо придать символам функции смысл операторов.

Например, $(\tfrac{\partial}{\partial x}+\tfrac{\partial}{\partial y})(\tfrac{\partial}{\partial x}-\tfrac{\partial}{\partial y})=\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\tfrac{\partial^2}{\partial y^2},$ или $x\tfrac{d}{dx}-\tfrac{d}{dx}x=-1.$

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

А вы представляете, как такие учебник поднимут интерес учащихся к математике! И авторитет самой математики.

Да вряд ли.

Sinoid в сообщении #1097263 писал(а):

Выходит, надо думать, когда можно не указывать аргументы, а когда нет.

Я вам по секрету скажу, думать вообще полезно.

[Sinoid]

Lia в сообщении #1097524 писал(а):

При продолжении в том же тоне тема будет перенесена в более подходящий раздел.

Извините, пожалуйста.

arseniiv в сообщении #1097519 писал(а):

Почему аргументы разные? Авторы не подразумевали расстановки разных

Так этот пример так и задуман, чтобы показать возможность ошибочной интерпретации формулы.

arseniiv в сообщении #1097519 писал(а):

Не требует подразумевать или ставить квантор всеобщности для переменной

Я имел ввиду, что слева и справа можно подразумевать вообще разные переменные, синус чего-то и косинус чего-то, а чего ведь не сказано конкретно.

[tolstopuz]

Sinoid в сообщении #1097660 писал(а):

Я имел ввиду, что слева и справа можно подразумевать вообще разные переменные, синус чего-то и косинус чего-то, а чего ведь не сказано конкретно.

Достаточно посмотреть определение равенства функций, и вопрос о разных переменных отпадет. Вот, например, из Зорича:

Цитата:

Две функции $f_1$, $f_2$ считаются совпадающими или равными, если они имеют одну и ту же область определения $X$ и на любом элементе $x\in X$ значения $f_1(x)$, $f_2(x)$ этих функций совпадают. В этом случае пишут $f_1=f_2$.

[Sinoid]

tolstopuz в сообщении #1097665 писал(а):

Достаточно посмотреть определение равенства функций, и вопрос о разных переменных отпадет. Вот, например, из Зорича:
Цитата:

Две функции $f_1$, $f_2$ считаются совпадающими или равными, если они имеют одну и ту же область определения $X$ и на любом элементе $x\in X$ значения $f_1(x)$, $f_2(x)$ этих функций совпадают. В этом случае пишут $f_1=f_2$.

Только тут оговорено словами число переменных, от которых зависят $f_1$ и $f_2$.