2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 21:37 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Почему при извлечении арифметического корня получается положительное число?Например $(-7)^2=7^2$, но $\sqrt{49}=7$ ?
Ведь нельзя же например в квадратном уравнении "выкинуть" одно решение.Зачем же здесь "выкидывать" одно из решений? Разве это никак не сказывается на ответе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
Rusit8800 в сообщении #1096237 писал(а):
Почему при извлечении арифметического корня получается положительное число?

По определению арифметического квадратного корня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:05 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Иногда из $49$ требуется получить только $7$, а в других ситуациях множество $\{7, -7\}$. Решили: пусть лучше первичным строительным блоком будет функция (однозначная): $\sqrt{49}=7$, а если нужны оба знака, напишем $\pm\sqrt{49}$. А считать, что $\sqrt{49}=\{7, -7\}$ — это будет неудобно в тех областях, где всё построено на функциях (которые надёжно превращают число в число). Хоть новый символ придумывай, выбирающий из множества нужный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:46 
Аватара пользователя


17/10/15
110
Rusit8800
Пусть нам дано отображение $f(x):\mathbf{X}\to\mathbf{Y}. f(x)=x^2. x\in\mathbf{X};f(x)\in\mathbf{Y}$. В нем каждому элементу $x$ соответствует строго один элемент $f(x)$. Мы с вами хотим построить обратное отображение $ \mathbf{Y}\to\mathbf{X}$. Как легко убедиться, в нем уже элемент $f(x)$ будет отображаться в два элемента $\sqrt{f(x)}$ и $-\sqrt{f(x)}$. Так вот. Все хорошие свойства и теоремы, составляющие предмет матанализа не будут работать, если мы имеем дело с последним типом отображений, а на практике это не очень удобно. Поэтому договорились ставить в соответствие извлечению корню из числа $a$ единственное положительное число $b$.
Скажем, пусть скорость точки зависит от времени следующим образом:
$V(t)=\sqrt{t}$. Найти путь, за время $t_1$
Если $\sqrt{t}$ определен однозначно, то мы можем взять определенный интеграл и легко посчитать путь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
svv в сообщении #1096246 писал(а):
Хоть новый символ придумывай, выбирающий из множества нужный элемент.

А комбинация из символа квадратного корня и знака - и есть тот самый символ. Так зачем изобретать новый?
Вот, допустим, нам нужно однозначно описать корень уравнения $x^2=49$. Мы можем сказать "меньший корень уравнения $x^2=49$" либо "больший корень уравнения $x^2=49$". Но столь же просто различать эти корни, сравнивая их не между собой, а с нулём, то есть указывая их знаки. Тогда мы должны говорить "отрицательный корень уравнения $x^2=49$" либо "положительный корень уравнения $x^2=49$". Если же теперь заменить слова символами, мы и получаем:
$-\sqrt{49}$ - отрицательный корень уравнения $x^2=49$ (минус заменил слово "отрицательный", 49 под знаком радикала - сокращение для корень уравнения $x^2=49$)
$\sqrt{49}$ - положительный корень уравнения $x^2=49$ (перед положительным числом знак "плюс" обычно не пишется).

Может быть, ТС так будет понятнее. Всё же, если говорить строго, $\sqrt{49}=7$ по определению арифметического квадратного корня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Rusit8800
Есть просто квадратный корень, а есть арифметический квадратный корень. Первый выдаёт два значения (точнее раскрывается в модуль, который и выдаёт потом два возможных значения), второй только одно неотрицательное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 23:22 


20/03/14
12041
 !  Protopopulus
Предупреждение за безграмотность и флуд в учебном разделе.

Флуд удален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 10:58 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
gomomorfizm в сообщении #1096254 писал(а):
Как легко убедиться, в нем уже элемент $f(x)$ будет отображаться в два элемента $\sqrt{f(x)}$ и $-\sqrt{f(x)}$. Так вот. Все хорошие свойства и теоремы, составляющие предмет матанализа не будут работать, если мы имеем дело с последним типом отображений, а на практике это не очень удобно.

Отображениями называют подмножества $X\times Y$ такие, что для всякого $x$ существует единственный $y$, что пара $(x,y)$ лежит в отображении. Если это не выполняется, лучше вообще слова "отображение", "функция" не применять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 12:25 
Аватара пользователя


17/10/15
110
NSKuber
Вы привели определение биективного отображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 12:27 


20/03/14
12041
gomomorfizm в сообщении #1096386 писал(а):
Вы привели определение биективного отображения.

Нет, приведено в точности то, что анонсировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 12:35 
Аватара пользователя


17/10/15
110
Lia
Хорошо, я посыпаю себе голову пеплом и беру свои слова назад)

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:04 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1096256 писал(а):
Rusit8800
Есть просто квадратный корень, а есть арифметический квадратный корень. Первый выдаёт два значения (точнее раскрывается в модуль, который и выдаёт потом два возможных значения), второй только одно неотрицательное.


Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.
Кстати если в функции $y=\sqrt{x}$ знак $\sqrt{}$ будет обозначать просто квадратный корень, то функция "раздвоится", то есть будет и отрицательный $y$(если сравнивать с такой же функцией с арифметическим квадратным корнем)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:08 


20/03/14
12041
Rusit8800 в сообщении #1096522 писал(а):
Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.

Восьмикласснику не надо. Если встретите знак $\sqrt{\phantom d}$ - имеется в виду корень именно арифметический. Если, конечно, Вы не собрались читать литературу для физматспециальностей третьего курса сию минуту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:31 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Lia в сообщении #1096525 писал(а):
Rusit8800 в сообщении #1096522 писал(а):
Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.

Восьмикласснику не надо. Если встретите знак $\sqrt{\phantom d}$ - имеется в виду корень именно арифметический. Если, конечно, Вы не собрались читать литературу для физматспециальностей третьего курса сию минуту.

Да просто интересно :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(gomomorfizm)

Если имелись в виду $X, Y$, то лучше так и писать, а форматирование используется обычно для придания особого смысла. :wink: И вообще, это
gomomorfizm в сообщении #1096254 писал(а):
$f(x):\mathbf{X}\to\mathbf{Y}. f(x)=x^2. x\in\mathbf{X};f(x)\in\mathbf{Y}$
кошмар. Вы ведь написали уже, на чём и во что функция определена — зачем дальше повторяться? Плюс, осмысленнее запись $f\colon X\to Y$, а не $f(x)\colon X\to Y$. Догадайтесь почему. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group