2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 21:37 
Аватара пользователя
Почему при извлечении арифметического корня получается положительное число?Например $(-7)^2=7^2$, но $\sqrt{49}=7$ ?
Ведь нельзя же например в квадратном уравнении "выкинуть" одно решение.Зачем же здесь "выкидывать" одно из решений? Разве это никак не сказывается на ответе?

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 21:47 
Аватара пользователя
Rusit8800 в сообщении #1096237 писал(а):
Почему при извлечении арифметического корня получается положительное число?

По определению арифметического квадратного корня.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:05 
Аватара пользователя
Иногда из $49$ требуется получить только $7$, а в других ситуациях множество $\{7, -7\}$. Решили: пусть лучше первичным строительным блоком будет функция (однозначная): $\sqrt{49}=7$, а если нужны оба знака, напишем $\pm\sqrt{49}$. А считать, что $\sqrt{49}=\{7, -7\}$ — это будет неудобно в тех областях, где всё построено на функциях (которые надёжно превращают число в число). Хоть новый символ придумывай, выбирающий из множества нужный элемент.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:46 
Аватара пользователя
Rusit8800
Пусть нам дано отображение $f(x):\mathbf{X}\to\mathbf{Y}. f(x)=x^2. x\in\mathbf{X};f(x)\in\mathbf{Y}$. В нем каждому элементу $x$ соответствует строго один элемент $f(x)$. Мы с вами хотим построить обратное отображение $ \mathbf{Y}\to\mathbf{X}$. Как легко убедиться, в нем уже элемент $f(x)$ будет отображаться в два элемента $\sqrt{f(x)}$ и $-\sqrt{f(x)}$. Так вот. Все хорошие свойства и теоремы, составляющие предмет матанализа не будут работать, если мы имеем дело с последним типом отображений, а на практике это не очень удобно. Поэтому договорились ставить в соответствие извлечению корню из числа $a$ единственное положительное число $b$.
Скажем, пусть скорость точки зависит от времени следующим образом:
$V(t)=\sqrt{t}$. Найти путь, за время $t_1$
Если $\sqrt{t}$ определен однозначно, то мы можем взять определенный интеграл и легко посчитать путь.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:51 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1096246 писал(а):
Хоть новый символ придумывай, выбирающий из множества нужный элемент.

А комбинация из символа квадратного корня и знака - и есть тот самый символ. Так зачем изобретать новый?
Вот, допустим, нам нужно однозначно описать корень уравнения $x^2=49$. Мы можем сказать "меньший корень уравнения $x^2=49$" либо "больший корень уравнения $x^2=49$". Но столь же просто различать эти корни, сравнивая их не между собой, а с нулём, то есть указывая их знаки. Тогда мы должны говорить "отрицательный корень уравнения $x^2=49$" либо "положительный корень уравнения $x^2=49$". Если же теперь заменить слова символами, мы и получаем:
$-\sqrt{49}$ - отрицательный корень уравнения $x^2=49$ (минус заменил слово "отрицательный", 49 под знаком радикала - сокращение для корень уравнения $x^2=49$)
$\sqrt{49}$ - положительный корень уравнения $x^2=49$ (перед положительным числом знак "плюс" обычно не пишется).

Может быть, ТС так будет понятнее. Всё же, если говорить строго, $\sqrt{49}=7$ по определению арифметического квадратного корня.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 22:56 
Rusit8800
Есть просто квадратный корень, а есть арифметический квадратный корень. Первый выдаёт два значения (точнее раскрывается в модуль, который и выдаёт потом два возможных значения), второй только одно неотрицательное.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение02.02.2016, 23:22 
 !  Protopopulus
Предупреждение за безграмотность и флуд в учебном разделе.

Флуд удален.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 10:58 
gomomorfizm в сообщении #1096254 писал(а):
Как легко убедиться, в нем уже элемент $f(x)$ будет отображаться в два элемента $\sqrt{f(x)}$ и $-\sqrt{f(x)}$. Так вот. Все хорошие свойства и теоремы, составляющие предмет матанализа не будут работать, если мы имеем дело с последним типом отображений, а на практике это не очень удобно.

Отображениями называют подмножества $X\times Y$ такие, что для всякого $x$ существует единственный $y$, что пара $(x,y)$ лежит в отображении. Если это не выполняется, лучше вообще слова "отображение", "функция" не применять.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 12:25 
Аватара пользователя
NSKuber
Вы привели определение биективного отображения.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 12:27 
gomomorfizm в сообщении #1096386 писал(а):
Вы привели определение биективного отображения.

Нет, приведено в точности то, что анонсировано.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 12:35 
Аватара пользователя
Lia
Хорошо, я посыпаю себе голову пеплом и беру свои слова назад)

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:04 
Аватара пользователя
Dmitriy40 в сообщении #1096256 писал(а):
Rusit8800
Есть просто квадратный корень, а есть арифметический квадратный корень. Первый выдаёт два значения (точнее раскрывается в модуль, который и выдаёт потом два возможных значения), второй только одно неотрицательное.


Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.
Кстати если в функции $y=\sqrt{x}$ знак $\sqrt{}$ будет обозначать просто квадратный корень, то функция "раздвоится", то есть будет и отрицательный $y$(если сравнивать с такой же функцией с арифметическим квадратным корнем)?

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:08 
Rusit8800 в сообщении #1096522 писал(а):
Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.

Восьмикласснику не надо. Если встретите знак $\sqrt{\phantom d}$ - имеется в виду корень именно арифметический. Если, конечно, Вы не собрались читать литературу для физматспециальностей третьего курса сию минуту.

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:31 
Аватара пользователя
Lia в сообщении #1096525 писал(а):
Rusit8800 в сообщении #1096522 писал(а):
Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.

Восьмикласснику не надо. Если встретите знак $\sqrt{\phantom d}$ - имеется в виду корень именно арифметический. Если, конечно, Вы не собрались читать литературу для физматспециальностей третьего курса сию минуту.

Да просто интересно :D

 
 
 
 Re: Извлечение арифметического квадратного корня
Сообщение03.02.2016, 19:33 

(gomomorfizm)

Если имелись в виду $X, Y$, то лучше так и писать, а форматирование используется обычно для придания особого смысла. :wink: И вообще, это
gomomorfizm в сообщении #1096254 писал(а):
$f(x):\mathbf{X}\to\mathbf{Y}. f(x)=x^2. x\in\mathbf{X};f(x)\in\mathbf{Y}$
кошмар. Вы ведь написали уже, на чём и во что функция определена — зачем дальше повторяться? Плюс, осмысленнее запись $f\colon X\to Y$, а не $f(x)\colon X\to Y$. Догадайтесь почему. :-)

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group